Spazi vettoriali, span e rango di matrice

Spazi vettoriali e sistemi lineari generali

Vettori e determinanti

Per quali k ∈ ℝ il vettore ⁰/₄,¹/_k ∈ < 4 calcolo det e zeri: i valori di k tali che det A ≠ 0.

Focus lezione: Per quali k ∈ ℝ il tre vettore ⁰/₂,¹/₁,¹/_k giace nel stesso piano?

Determinare il numero di soluzioni di sistemi non quadrati.

Definizione di spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale è una collezione di oggetti (detti vettori) che possono essere sommati e riscalati obbedendo a certe proprietà:

• Lo spazio vettoriale ℝⁿ (n=1,2,3...)
• ℝⁿ = {x = ^x/_{1 ...} ⁿ/_i}; xi ∈ ℝ v;}

Somma: x + y = ^(x1)/_(x2) + ^(y1)/_(y2) = ^(x1+y1)/_(x2+y2)

Prodotto per scalare: α x = ^{(α x)/(α x)}

Proprietà: commutativa, associativa, distributiva, vettore nullo 0, urar αx1, α≠0

Definizione: Un insieme V è detto spazio vettoriale se in V sono definite due operazioni: somma e prodotto per uno scalare, ed esse soddisfano le proprietà seguenti per ogni u, v, w ∈ V; per ogni α, β∈ℝ.

• Commutativa: u + v = v + u
• Associativa: (u+v)+w = u+(v+w), (α β)u = α (β u)
• Distributiva: (u+v) = x v = x u, (α x + β)u = α u + βu
• Vettore zero: 0, u - a = 0
• Uno: 1u = u, 0 = 0

Alcune proprietà importanti: Chiusura: u,v ∈ V, u + v ∈ V

Esempio: ℝ è uno spazio vettoriale, mentre ℕ, ℚ, ℤ come sottoinsiemi di ℝ non sono sotto-spazi vettoriali.

Spazi vettoriali e sistemi lineari generali

Esempio: Per quali k ∈ ℝ il vettore ⁽¹⁾/₍₄₎⁽⁰⁾/_(-1) ⁽¹⁾/_(k) x = ^(-1)/_(-1) calcolo det e vedo i valori di k tale che det ≠ 0.

Focus sezione: Per quali k ∈ ℝ i tre vettori ⁽²⁾/₍₁₎ ⁽¹⁾/₍₂₎ ⁽¹⁾/₍₁₎ ⁽⁴⁾/_(k) ⁽³⁾/₍₁₎ ⁽⁰⁾/₍₄₎ non giacciono nello stesso piano?

Determinare il numero di soluzioni di sistemi non quadratici.

Definizione informale di spazio vettoriale

Una collezione di oggetti (detti vettori) che possono essere sommati e riscalati, secondo certe proprietà:

• Lo spazio vettoriale ℝⁿ (n = 1, 2, 3...)
• ^{ℝⁿ = {x =} /_(x₁)}, xᵢ ∈ ℝ i ∈ {1, 2, 3,...}

Somma: x + y = ^{(x₁ + y₁)}/_{(x₂ + y₂)} ^{(xᵤ + yᵤ)}/_{(x₄ + y₄)}

Prodotto per scalare: αx = ^(αx₁)/_(αx₂) ^(αxᵤ)/_(αx₄)

Proprietà: commutativa, associativa, distributiva, vettore nullo = 0, uno αx = 1, α ≠ 0.

Definizione: Un insieme V è detto spazio vettoriale se in V sono definite due operazioni: somma e prodotto per uno scalare, ed esse soddisfano le proprietà seguenti per ogni x, y, u ∈ V, per ogni α, β ∈ ℝ:

• Commutativa: x + y = y + x
• Associativa: (x + y) + u = x + (y + u), (x + y) β = x (βy)
• Distributiva: (u + v) α = uα + vα, (xα) β = x α + x β
• Vettore zero: x + o = x, o + x = o
• Uno: 1 ⊗ x = x, o ⊗ x = o

Una proprietà implicita: Chiusura u + v ∈ V e uα ∈ V

Esempio: ℝ è uno spazio vettoriale, mentre ℕ, ℤ, ℕ come estensioni di ℝ non sono sottospazi vettoriali.

Combinazioni lineari

Definizione: Siano V uno spazio vettoriale v₁, ..., v_n ∈ V e a₁, ..., a_n ∈ ℝ. L'elemento a₁v₁ + ... + a_nv_n che appartiene a V grazie alla proprietà di chiusura, si chiama combinazione lineare dei vettori v₁, ..., v_n con coefficienti o pesi a₁, ..., a_n.

• Esempio: v₁ = (¹⁄₂ ^-1⁄₂ ¹⁄₂) ∈ ℝ³
• Esempio: v₁ = v₂ + v₃ = (²⁄₃ ⁵⁄₂ ³⁄₂)
• Esempio: v₃ = (3 1) = 3e₁ + 2e₂ = combinazione lineare della base canonica

Osservazione: Il generico sistema lineare m x n può essere risolto come combinazione lineare:

(a_1,1x₁ + ... + a_1,nx_n = b₁)
(a_m,1x₁ + ... + a_m,nx_n = b_m)

A ∈ M_m,n (ℝ) x ∈ ℝⁿ b ∈ ℝ^m
A · x = b