Sistemi lineari e a scala - Dimostrazioni teoremi spiegate

Sistemi lineari (pt. 1)

Conseguenza: usando il sistema ottenuto è equivalente a quello iniziale (!).

Lemma

(vedi pag. 50 libro)

Fatto importante: Facendo combinazioni lineari di equazioni di un sistema lineare le soluzioni non cambiano.

Dimostrazione

Dalla definizione di soluzione, sappiamo che una soluzione di un sistema lineare Ax=b è una n-upla \( (v_1,...,v_n) \) di numeri che sostituiti alle incognite \( (x_1,...,x_n) \) soddisfano tutte le equazioni del sistema. Quindi, Av=b equivale a dire: Essendo \( \widetilde{A}x = \widetilde{b} \) allora anche \( \widetilde{A}v = \widetilde{b} \) sarà. Di conseguenza, \( \widetilde{A}v = \widetilde{b} \) ha le stesse del sistema lineare Ax=b.

Conseguenza: usando l'eliminazione di Gauss il sistema ottenuto è equivalente a quello iniziale (!)

Lemma

(vedi pag. 50 libro)

Fatto importante: Facendo combinazioni lineari di equazioni di un sistema lineare le soluzioni non cambiano.

Dimostrazione

Dalla definizione di soluzione sappiamo che una soluzione di un sistema lineare \( Ax = b \) è una n-upla \((v_1, \ldots, v_n)\) di numeri che sostituite alle incognite \((x_1, \ldots, x_n)\) soddisfano tutte le equazioni del sistema. Quindi: \( Av = b \) equivale a dire \( a_1v_1 + \ldots + a_nv_n = b \)

Essendo \( \hat{A}x = \hat{b} \) combinazione lineare di \( Ax = b \), allora anche \( \hat{A}v = \hat{b} \) sarà combinazione lineare di \( Av = b \). Di conseguenza, \( \hat{A}v = \hat{b} \) ha le stesse soluzioni di \( Av = b \), ovvero \( \hat{A}v = \hat{b} \) e \( Av = b \) sono equivalenti.

Al contrario, se \((v_1, \ldots, v_n)\) è soluzione di \( \hat{A}x = \hat{b} \)

\( \underline{h,k} \in \mathbb{R} \), \( A \in \mathbb{R}^n \)

\( h(a_1v_1 + \ldots + a_nv_n) + k(b_1v_1 + \ldots + b_nv_n) = ha + kb \)

allora la soluzione \((v_1, \ldots, v_n)\) sarà tale da che \( a_1v_1 + \ldots + a_nv_n = b_1v_1 + \ldots + b_nv_n \), ovvero per le equazioni del sistema lineare \( Ax = b \).

Sistemi lineari (pt. 2)

Sistemi a scala

Lemma

Sia \( S \in \mathbb{R}^{m \times n} \) una matrice a scala con \( r \) pivot. Poniamo

\[ V_r = \left\{ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_r \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^m \; \middle| \; b_1, \ldots, b_r \in \mathbb{R} \right\} = \text{span}(e_{j_1}, \ldots, e_{j_r}) \subseteq \mathbb{R}^m \]

Indichiamo, per \( k = 1, \ldots, r \), con \( S^k \) la colonna di \( S \) con pivot \( p_k \). Allora:

• Im \( S = V_r \);
• rg \( S = r \);
• \(\{S^{j_1}, \ldots, S^{j_r}\} \) è una base di Im \( S \).

Per me: Spiegazione del lemma (1^a parte)

Se \( S \) è la matrice a scala associata a \( V_r \):

\[ S = \begin{bmatrix} b_1 & * & * & * \\ 0 & * & \cdots & * \\ 0 & \cdots & b_r \\ 0 \end{bmatrix} \]

Se la si osserva meglio, però, si può notare che essa assomiglia molto ad una matrice composta dai vettori della base canonica.

Per \( b_1,...,b_r\in\mathbb{R} \)

S = | ₁ 0 ⋯ 0 | ≈ | 1 ⋯ 0 | = [e₁, ..., e_r]

0 ⋱ 0 0 ⋮ 1 ⋮ ⋮ 0

0 ⋯ b_r 0 0 ⋯ 0

Quindi, il vettore b si può scrivere benissimo come combinazione lineare dei vettori della base canonica. Per questo: V_r = span(e₁,...,e_r) ⊂ ℝ^m

Dimostrazione

Per il lemma sull'immagine sappiamo che ∀A ∈ ℝ^m×n Im A = span (A¹,...,A^m) ⊂ ℝ^m

Quindi, per S ∈ ℝ^m×n Im S = span (e₁,...,e_r), dove r è il numero di pivot della matrice S.

Siccome tutte le colonne di S appartengono a V_r, e generano Im S, è chiaro che Im S = V_r; inoltre, è pur evidente che dim V_r = r = rg S.

Quindi, affinché il lemma sia verificato basta capire se S¹,...,S^r sono linearmente indipendenti. Prendiamo il sistema omogeneo

_α1^su_Ssu+...+_αr^su_Sr=O

La matrice dei coefficienti sarà della forma

Quindi siamo ricondotti ad una matrice triangolare superiore con i pivot non nulli. Di conseguenza, per la proposizione sui sistemi lineari triangolari superiori, il sistema ammette un’unica soluzione, ovvero quella dove _αr=...=_αr=0, il che significa che _S1^su,...,_Sr^su sono linearmente indipendenti. Dunque, {_S1^su,...,_Sr^su} sono una base di Im S.

Corollario (continuazione del lemma precedente)

Sia S_∈^Rm×n una matrice a scala di rango r. Allora il sistema Sx=c ha soluzione se e solo se le ultime m-r coordinate dove r ≤ m di c sono zero, e lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo Sx=O ha dimensione n-r.

Dimostrazione

Per la proposizione su un sistema lineare compatibile, sappiamo che un sistema Ax=b è compatibile se e solo se. Quindi, sapendo che il sistema Sx=c ha soluzione se e solo se C il quale implica che C ha le ultime m-r coordinate nulle.

Per quanto riguarda lo spazio delle soluzioni di Sx=0, sappiamo che, per definizione di nucleo equivale al Ker S. Di conseguenza, per il teorema della dimensione, =■

Teorema

Sia Ax=b ∈ ℝ un sistema lineare e Sx=c una sua riduzione a scala. Allora:

1. Lo spazio delle soluzioni di Ax=b è uguale allo spazio delle soluzioni di Sx=c
2. Ker A = Ker S
3. rg A = rg S
4. Siano S_J1, ..., S_Jr dove r = rg S, le colonne corrispondenti ai pivot di S, allora {A_J1, ..., A_Jr} è una base di Im A

Dimostrazione

1. Siccome S è ottenuta attraverso varie combinazioni lineari, per il lemma sui sistemi equivalenti, Ax=b è equivalente a Sx=0, ovvero possiedono lo stesso spazio di soluzioni.
2. Sapendo che se Bx=d è un sistema lineare qualunque, il sistema Bx=0 è il sistema omogeneo associato al sistema Bx=d. Allora, per il punto (i), possiamo dire che il sistema Ax=0 è equivalente al sistema Sx=0, di conseguenza, per definizione di Kernel, Ker A = Ker S
3. Sapendo che A, S ∈ ℝ, allora, per il teorema della dimensione, sappiamo che rg A = n - dim Ker A = n - dim Ker S = rg S