Sistemi lineari, parte V

X'₁, X'₂X' = { X'₁, X'₂ }X' ⊂ X

Come costruire una base in R^m

1. Se X è un sistema di generatori di R^m linearmente dipendente, posso estrarre da X un sistema linearmente indipendente di generatori.
2. Se X è un sistema di R^m linearmente indipendente ma non è un sistema di generatori, posso aggiungere dei vettori conservando l'indipendenza.

Proposizione

Sia X un sistema di vettori linearmente indipendente di R^m e sia y ∉ L(X) (non dipendente dai vettori del sistema), il nuovo sistema che contiene anche y - X_u∪{y} sarà anch'esso linearmente indipendente.

Dimostrazione

|X| = t

Ordine (numero dei vettori)

X = { x₁, x₂, x₃, ... x_t }

t ≤ m

Precisamente t < m

Siano α₁, α₂, α₃, ..., α_t ∈ R

X è linearmente indipendente quindi α₁x₁ + α₂x₂ + x₃x₃, ... + α_tx_t = 0

Aggiungiamo y e affinché X∪{y} continui ad essere indipendente deve verificarsi che ...

AVG 25 02/10/17

X' = { X₁, X₂ }X' ⊂ X

Come costruire una base in R^m

1. Se X è un sistema di generatori di R^m linearmente dipendente, posso estrarre da X un sistema linearmente indipendente di generatori.
2. Se X è un sistema di R^m linearmente indipendente ma non è un sistema di generatori, posso aggiungere dei vettori conservando l'indipendenza.

Proposizione

Sia X un sistema di vettori linearmente indipendente di R^m e sia Y ∉ L(1{X}) . Il nuovo sistema che contiene anche Y - X_u1 Y sarà anch'esso linearmente indipendente.

Dimostrazione

|X| = t

t ≤ m

Siano α₁, α₂, α₃, ..., α_t ∈ R

X è linearmente indipendente quindi α₁ X₁ + α₂ X₂ + α₃ X₃ + ... + α_t X_t = 0

Aggiungiamo Y e affinché X ∪ {Y} continui ad essere indipendente deve verificarsi che ...

Alg. 25 02/10/17

α u + λ₁ n₁ + λ₂ n₂ + λ₃ n₃ - α t ν t = 0

Se α ≠ 0 e quindi il sistema non è più linearmente indipendente

u = − λ₁ n₁ − λ₂ n₂ − λ₃ n₃

u = ¼₁/_α  •  n₁ + ¼₂/_α  •  n₂ + ¾₃/_α  •  n₃ —u ∈ L((x))

Assurdo

Se α = 0

α u + α₁ n₁ + α₂ n₂ − α t ν t = 0

Questo qui non significa che u ∈ L((x))

Questa è la combinazione lineare di x; ovvero dell'insieme di partenza che era linearmente indipendente e quindi tutto equivale con α = 0

Teorema del completamento a una base

Sia X un sistema linearmente indipendente di &Rfr;⌊^m &rfr; ⌉_R^m

Esiste una base di &Rfr;⌊^m &rfr; ⌉_R^m che contiene x

Esempio

W = { (0,1,1) ; (2,1,−1) }

(2,1,−1) = r (0,1,1)

(2,1,−1) = b (0,n,1)

Π = 1 impossibile

Π = −1 indipendenti

Aggiungiamo il vettore unitario di R³ o₁ = (1,0,0)

(0,1,1) + (2,1,-1) + (1,0,0) = 0

(0, , ) + 2 - + (0,0, ) = 2 + = 0 → = 0

α + = 0 → α = → α = 0

α - = 0 → β - = 0 → β = 0

Linearmente indipendenti

(0,1,1)

(2,1,-1)

(1,0,0)

Abbiamo trovato un sistema di R³ linearmente indipendente generatore

Quindi w è una base di R³

Attenzione

Si aggiungono vettori unitari perché sicuramente almeno uno di questi non è presente in un sistema che non è un generatore.

Se ci fossero tuttî R³ | | ∈ L(w)| | = B_N

L(B_N) ⊂ L(L(w))

Non è possibile se L(w) contemporaneamente una base, sarebbe un generatore ma non cʼè col

HAIG:27 02/10/2017

Prodotto scalare numerico standard

ℝ^m × ℝ^m → ℝ

X = ( X₁, X₂, X₃ ... X_m )

Y = ( Y₁, Y₂, Y₃ ... Y_m )

⋜ X, Y ⋝ = X₁ Y₁ + X₂ Y₂ + X₃ Y₃ ... X_n Y_m

Esempio

ℝ³

X = ( 1, 0, -1 )

Y = ( 2, 1, 3 )

⋜ ( 1, 0, -1 ), ( 2, 1, 3 ) ⋝ = 2(1) + 1(0) + (-1)3 = -1

Proprietà

Simmetrico ⋜ X, Y ⋝ = ⋜ Y, X ⋝   ⋄ X, Y ∈ ℝ^m

⋜ X + Z^¯, Y ⋝ = ⋜ X, Y ⋝ + ⋜ Z^¯, Y ⋝   ⋄ X, Y, Z^¯ ∈ ℝ^m

Dimostrazione

X = (X₁, X₂ ... X_m)

Y = (Y₁, Y₂ ... Y_m)

Z^¯ = (Z₁, Z₂ ... Z_m)

⋜ X + Z^¯, Y ⋝ = (X₁+Z₁, X₂+Z₂ ... X_m+Z_m) (Y₁, Y₂ ... Y_m) =

⋠ (X₁+Z₁)Y₁ + (X₂+Z₂)Y₂ + (X_m+Z_m)Y_m =

X₁Y₁ + Z₁ Y₁ + X₂Y₂ + Z₂Y₂ ... =

(X₁Y₁ + X₂Y₂ + X₃Y₃ ... X_mY_m) + (Z₁Y₁ + Z₂Y₂ ... Z_mY_m)

= ⋜ X, Y ⋝ + ⋜ Z^¯, Y ⋝

A.C. 28 03/01/2013

<α x, y> = α <x, y> = <x, α y>

x = (x₁, x₂, x₃ ... x_m)

y = (y₁, y₂, y₃ ... y_m)

<α x, y> = (α x₁ + α x₂ + α x₃ ... α x_m) y

<x + y + w, y> = <x, y> + x, y, w>

<x x x> = x₁² + x₂² + x₃²... x_m² > 0

Se <x x x>: 0 <===> x = 0

Si definisce "lunghetta" o anche "modulo" di x ∈ R^m

|x| = √<x x x>

OSS. L'unico vettore che ha |X| = 0 è il vettore nullo (0)

Esempio R⁴

y = (1, -1, 2, 3)

|y| = √<x x x> = √( )²(-1)² + (2)² + (3)²

= √15

R¹ |X| = √<x x x>

Solo quando siamo in R e quindi non sono vettori ma scalari e quindi parliamo di modulo e non di lunghezza

A/G 29 02 02017

OSS: Non vale la legge dell'annullamento del prodotto

⟨(1, 0, -1) , (0, 1, 0)⟩ = = (1 . 0) + (0 . 1) + (-1 . 0) = 0

OSS: I vettori unitari sono tali perché la loro lunghezza è pari a 1

Ad esempio in ℝ³, i vettori unitari sono e₁ = (1, 0, 0) e₂ = (0, 1, 0) e₃ = (0, 0, 1)

|e₁| = √ 1² + 0² + 0² = 1

|e₂| = √ 0² + 1² + 0² = 1

|e₃| = √ 0² + 0² + 1² = 1

• Tutti gli altri vettori che hanno lunghezza unitaria sono detti versori.

Possiamo ottenere un versore partendo da un vettore la cui lunghezza è diversa da uno.

ℝ³ u = (1, 1, -1)

|u| = √3

v = 1/|u| . u = (1/√3 . 1 , 1/√3 . 1 , 1/√3 (-1))

v = (1/3 1/3 1/3)

|v| = √( (2/3)² + (2/3)² + (2/3)² ) = 1