Sistemi lineari

Appunti sui sistemi lineari

Generalità

Definizione 1. Un’equazione lineare a coefficienti nel campo K in n incognite x₁, ..., x_n è un’equazione di primo grado a coefficienti in K nelle n variabili x₁, ..., x_n:

a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b,

con a_i ∈ K, i = 1, ..., n e b ∈ K. Se b = 0, l’equazione è detta omogenea.

Esempio 2

Le seguenti sono equazioni lineari a coefficienti reali nelle incognite x, y e z:

• -2x - y + 3z = 6
• x - 4y + z = 0
• x + 8z = 1

La seconda è omogenea.

Definizione 3

Una soluzione dell’equazione lineare è un vettore numerico X = (β₁, β₂, ..., β_n) ∈ Kⁿ che soddisfa l’uguaglianza:

a₁β₁ + a₂β₂ + ... + a_nβ_n = b.

Esempio 4

Il vettore (2, 1, 3) è una soluzione dell’equazione lineare a coefficienti reali 2x - y + 3z = 6. Anche il vettore (0, 0, 2) è soluzione della stessa equazione.

Lasciamo verificare allo studente che tutti i seguenti vettori (α, β) ∈ R, 2α + 3β = 6, sono soluzioni dell’equazione.

Osservazione

Consideriamo l’equazione lineare nelle incognite x₁, ..., x_n:

0x₁ + 0x₂ + ... + 0x_n = b,

con b ∈ K. È immediato verificare che se b = 0 allora ogni vettore numerico di Kⁿ è soluzione dell’equazione; se invece b ≠ 0 l’equazione non ammette soluzioni.

Definizione 5

Un sistema lineare di m ≥ 1 equazioni in n ≥ 1 incognite a coefficienti in K è un insieme di m equazioni lineari a coefficienti in K nelle stesse incognite x₁, ..., x_n:

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂
• ...
• a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m

con a_ij ∈ K, i = 1, ..., m, j = 1, ..., n e b_i ∈ K, i = 1, ..., m. Si noti che non esiste alcuna relazione tra gli interi m e n, che indicano, rispettivamente, il numero delle equazioni del sistema ed il numero delle incognite; possiamo avere che m < n, m > n oppure m = n.

Definizione 6

Una soluzione del sistema lineare è un vettore numerico X = (β₁, β₂, ..., β_n) ∈ Kⁿ che è soluzione di tutte le equazioni del sistema, i.e.

∀i: a_i1β₁ + a_i2β₂ + ... + a_inβ_n = b_i, i = 1, ..., m.

Dato il sistema lineare, introduciamo i seguenti vettori di K:

• I vettori colonna dei coefficienti del sistema: per ogni j = 1, 2, ..., n, indichiamo con A_j il vettore dei coefficienti dell’incognita x_j:
• A_j = (a_1j, a_2j, ..., a_mj) ∈ K^m
• Il vettore colonna dei termini noti del sistema: B = (b₁, b₂, ..., b_m) ∈ K^m

Usando questi vettori, possiamo scrivere il sistema in forma vettoriale:

x₁A₁ + x₂A₂ + ... + x_nA_n = B,

e possiamo, quindi, leggerlo come un’equazione vettoriale lineare a coefficienti in K nelle incognite x₁, ..., x_n. Si noti che nell’equazione scriviamo x_iA_i invece di A_ix_i, perché abbiamo scelto questa notazione per indicare il prodotto del numero reale x_i e del vettore numerico A_i.

Definizione 7

Una soluzione dell’equazione vettoriale è un vettore numerico X = (β₁, β₂, ..., β_n) ∈ Kⁿ che soddisfa l’uguaglianza:

β₁A₁ + β₂A₂ + ... + β_nA_n = B.

Si noti che ciò equivale a richiedere che il vettore X sia una soluzione del sistema lineare.

Definizione 8

Un sistema lineare è detto risolubile se ammette almeno una soluzione; in caso contrario, il sistema è detto non risolubile o impossibile.

Definizione 9

Un sistema lineare è detto omogeneo se il vettore colonna dei termini noti B è il vettore nullo; in caso contrario, il sistema lineare è detto non omogeneo.

Osservazione

Un sistema lineare omogeneo è sempre risolubile. Verifichiamo che il vettore nullo di Kⁿ è soluzione del sistema. Infatti si ha:

0A₁ + 0A₂ + ... + 0A_n = 0.

Tale soluzione è detta soluzione banale del sistema.

Matrice dei coefficienti

Dato il sistema lineare, introduciamo:

• La matrice A dei coefficienti del sistema di colonne A₁, ..., A_n:

A =

La matrice A è una matrice di m righe e n colonne ad entrate in K ed è detta matrice dei coefficienti del sistema.

• Il vettore colonna delle incognite: X = (x₁, x₂, ..., x_n)

Ricordando il prodotto matrice-vettore, il sistema lineare può essere scritto nella seguente forma matriciale:

AX = B,

e possiamo quindi leggerlo come un’unica equazione matriciale nell’incognita X.

Infine associamo al sistema la matrice che si ottiene aggiungendo alla matrice A la colonna B dei termini noti:

 = (A|B) =

La matrice  è una matrice di m righe e (n + 1) colonne ad entrate in K ed è detta matrice completa del sistema.