Sistemi di forze e statica

Sistemi di forze equivalenti

dQ/dt = R(e)

dB/dt = M(e)

Considero sistema rigido ⇒ il lavoro interno è nullo.

La soluzione di queste equazioni dipende da M(e) ed R(e).

Per gli stessi M(e) ed R(e) il moto sarà lo stesso.

Equazione del lavoro:

δL = R(e) · dr + M(e) · dφ

Il moto sarà lo stesso.

Come cambia il momento se cambio polo?

Come cambio M se cambio polo? : Teorema

Il momento di una coppia non dipende dal polo ⇨

Che relazione c'è tra M_a e M_a'? : Teorema

R = ξ' · F_k

Sistemi di forze equivalenti

dQ/dt = R (e)

dB/dt = M (e)

Considero sistema rigido => il lavoro interno è nullo.

La soluzione di queste equazioni dipende da M (e) ed R (e).

Per gli stessi M (e) ed R (e) il moto sarà lo stesso.

Equazione del lavoro: dL = R (e) . dr + M (e) . dφ

2° angolo di rotazione del corpo.

ξ = ξ'

Ξ = {F1, F2, F3}

Ξ' = {F'1, F'2, F'3}

I due sistemi sono equivalenti se hanno la stessa risultante R = R' e lo stesso momento rispetto al polo.

Ma = Ma'

Il moto sarà lo stesso.

Teorema del cambio di polo

Come cambia M se cambio polo? : Teorema

Ma' = ξ' x pK x ξ

ξ = (Ω^1 + aΩ^1) x FK

Minima risultante nulla (f, -F) => R = 0.

Che relazione c'è tra Ma e H1? : Teorema

2 sistemi: Ξ ≡ Ξ'; FK

Ma1 = Ma' = ξ' x pK x R = Ma1

Calcolo H del primo sistema rispetto al polo Ma.

Se due sistemi di forze sono equivalenti rispetto al polo aolo sono anche rispetto a tutti i poli.

Se Ξ ≡ Ξ' allora lo è per tutti i poli 1.

Ξ' = {R1 + F'1, F'2, F'3}

Sist. equivalenti ma cosa succede rispetto ad un altro polo?

R = Ξ FK

Una coppia che non dipende dal polo.

Sistemi di forze parallele

Si applicano alla forza peso.

Forze esterne con momento nullo.

Centro di forze.

Momenti opposti che si annullano.

Posso far sì che l₀ l'oggetto è nullo.

Forze parallele dirette verso il basso.

La forza peso parallela verso il basso.

Centro di forze.

Per def. è il centro di massa.

Se uso il peso quindi centro massa.

Baricentro coincide con centro di massa.

Centro delle forze peso.

Peso nel baricentro.

Statica di un corpo rigido

Corpo rigido è definito come:

Distanza cost. nel tempo qualsiasi siano i punti del corpo cost.

Che cos'è la statica?

Studio delle equazioni per cui un corpo rigido sta fermo.

Risultante forze.

Momento.

2 equazioni.

Esempio

Quanto vale s_d senza cadere?

S = cotanΘ [Pm _S/_L + ₁/₂ PH] = g cotanΘ [m _L + _H/₂ ]

A̅ ≤ μN ⇒ S ≤ μ (Pm + PH) ⇒ g cotanΘ [m _S/_L + _H/₂ ] ≤ μg (m+H)

m _S/_L + _M/₂ ≤ tg Θ μ (m+H)

m _S/_L ≤ Tg Θμ (m+H) - _H/₂

s ≤ _L/_m tgΘ μ (m+H) - _L/_{m H}/₂

S_max

S ≤ ₃/₇ √₃ · 0.4· 80 kg = _3·10³/_7,30·2

s ≤ _3√3/₇ · 0.8 - ₃/₁₄

s ≤ ₃/₇ · ₁/ √₁₀ · 0.1 - ₃/₁₄

s ≤ 0.18 - ₃/₁₄

Se viene neg. la scala scivola subito.

Esempio

T = 40.000 N

R̅(e) = 0 - Tcosβ + R = 0

R̅(e) = 0 - Tsinβ - Pm - PH + N = 0

H̅(e): = ( - _L/₂ cos Θ · PH - L cos ΘPm - L cos ΘT sin β + L sin ΘPH + L sin ΘT cos β = 0

tg β = _Lsin Θ / m + L cos Θ ⇒ β = arctan (_Lsin Θ/ m + L cos Θ)

T = _l/₂ PA cos Θ + _LPM cos Θ

Esempio

Compie una curva.

V₀ = 27 m/s

R = 100 m

μ = 0,2

R_(e) = 0 FC - A = 0 FC = A

R_(e) = 0 N - P = 0

M_(e) = 0 1/2 cosθ P + 1/2 FC sinθ = 0

FC = ctg θ P

ctg θ P ≤ μ P

μ ≥ ctg θ

ctg θ = μ

ctg θ_c = μ

Angolo critico.

Esercizio

d = 30

R = 0,1 m

M = 2 kg

Sfera con massa M e raggio R.

P_// = Psinα

P_⊥ = Pcosα

Scelgo polo dove ci sono più forze.

R_(e) = 0

M_(e) = 0

R_(e) = 0(x) - A - T + P_// = 0

(y) N - P_⊥ = 0

M_(e) = 0 T · 2R - P_// · R = 0

T = 1/2 P_// = 1/2 Psinα

A ≤ μ N

1/2 Psin α ≤ μ Pcos α

μ ≥ 1/2 tg α = μ_min = 1/2 tg α = 1/√3 ≈ 0,28

- A = T - P_//

A = + 1/2 P_//