Scienza delle Costruzioni - Dimostrazioni

Dimostrazioni

1. Relazione di Cauchy

x₃ x₂ x₁

Prendo un volume infinitesimo dV e ne impongo l'equilibrio (R.e.q.): F_i + ∮_s p_im dσ_m = ∫_v p_im d^*σ_m = 0.

∫_v p_im dσ_m + ∫_s p_im dσ_m = 0.

Divido i termini per dσ tenendo conto che dσ/dσ = 1.

p₁ + dσ/dσ = p_1m + p_2m + p_3m.

Relazione di Cauchy.

2. Equazione indefinita di equilibrio

Considero un volume V^* interno a V₁ sottoposto a forze di volume e di superficie e impongo R₁ = ∫_v F₂ dV^* + ∫_s p_im d^*σ_m = 0.

Calcolo il risultante lungo l'asse x_i: R₁ = ∫_v F₁ dV^* + ∫_s p_1m dσ_m = 0.

Uso Cauchy: R₁ = ∫_v F₁ dV^* + ∫_v (p_1m,1 + p_2m + p_3m,3) dV^* = 0.

Uso il th. della divergenza: R₂ = ∫_v F₁ + p_1m + 1/2 (p_2/3) dV^*.

In generale: F_i = 0.

Equazione indefinita di equilibrio.

3. Simmetria degli sforzi tangenziali

Considero un volume V^* interno a V, sottoposto a forze di volume e di superficie e impongo l'equilibrio (M₁₀) lungo l'asse x₁: M₁ = ∫_v (x₂ F₂)^* dV^*.

Uso Cauchy: M₁ = ∫_v (x₂ F₂)^* dV^*.

Uso il th. della divergenza: M₁ = ∫_v {x₂ F₃ + (x₂ p₁₁) / (x₂ p₃)} dV^* = 0.

Derivo i termini tra parentesi ricordando le regole di derivazione composta: (x₂ P₃).

Simmetria degli sforzi tangenziali.

Dimostrazioni

1. Relazione di Cauchy

x₃ x₂ x₁

Prendo un volume infinitesimo dV e ne impongo l'equilibrio (R.q): ∮_S T_ijn_j dσ + ρ_b dV = 0.

Divido i termini per dσ, tenendo conto che dσ/dσ = 1, T_ijn_j = T_ji^x_j n_j + ρ_b = 0.

Relazione di Cauchy.

2. Equazione indefinita di equilibrio

Considero un volume V_i interno a V₁ sottoposto a forze di volume e di superficie e impongo l'equilibrio (R.i.).

Calcolo il risultante lungo l'asse x₁.

Uso Cauchy.

Uso il th. della divergenza.

In generale: F_ei = p_eij^x_j = 0.

Eq. indefinita di equilibrio.

3. Simmetria degli sforzi tangenziali

Considero un volume V_i interno a V₁ sottoposto a forze di volume e di superficie e impongo l'equilibrio (M.i.o) lungo l'asse x₁.

Uso Cauchy.

Uso il th. della divergenza.

Derivo i termini tra parentesi ricordando le regole di derivazione composta:

[(x₃p₃₂ - x₃p₃₃)Z_i3e1[x₃)e₂(x_jp₃₃/_x3p323][x_3p31]

p₃₃ = p₃₂.

Simmetria degli sforzi tangenziali.

4. Stato di sforzo: cambiamento del SdR

Vecchio SdR: assi x, assi y, sforzo P.

Nuovi sforzi visti dal vecchio SdR.

Nuovo SdR: assi x₁, assi y₁, sforzo Q.

(Sforzi iniziali, verso nuovi).

Uso Cauchy: e_i: p_i2 = P_i1 cos α₁₂ + P_i2 cos α₂₂ + P_i3 cos α₃₂; in generale → p_ij = ∑_k P_ikcos α_kj.

Le componenti degli sforzi p lungo gli assi del nuovo SdR si ottengono tramite il prodotto scalare con i versori dei nuovi assi (cioè con i versi del vecchio SdR): p_i1 = P_i1 · α¹ + P_i2 · α² + P_i3 · α³.

P = α_k1 m₁ m₂ S₂ P₁₃ P₃₂.

In generale: p_ij = ∑_k.