Risposte esame orale Analisi matematica, B

1) INTEGRALE GENERALE DI UN EQUAZIONE DIFFERENZIALE LINEARE DEL PRIMO ORDINE

Siano a, b due funzioni continue su un intervallo I.

L'integrale generale di y'(t) + a(t) y(t) = b(t) e dato da y(t) = yom(t) + yp(t)

Yom(t) e la soluzione dell'equazione omogenea associata:

y'(t) + a(t) y(t) = 0

introduciamo A(t) una primitiva di a, vale quindi A'(t) = a(t). A(t) = ∫ a(t) dt

Osservo che (e^A(t))' = e^A(t) . A'(t) = e^A(t) . a(t)

Osservo anche che moltiplicando l'equazione omogenea per e^A(t) trovo:

e^A(t)(y'(t) + a(t) y(t)) = 0

svolgiamo il prodotto

e^A(t) y'(t) + e^A(t) . a(t) y(t) = 0

trovo la derivata del prodotto

(e^A(t) . y(t))' = 0

ovvero

e^A(t) y(t) = C

inoltre y(t) e la soluzione dell'equazione omogenea associata

yom(t) = C . e^-A(t)

Yp(t) e la soluzione particolare. Per trovarla uso la tecnica della variazione della costante, partendo dalla soluzione dell'equazione omogenea

y(t) = C(t) . e^-A(t)

vado ad inserire nell'equazione completa:

(C'(t) . e^-A(t) - C(t) . e^-A(t) a(t) + a(t) C(t) . e^-A(t)) = b(t)

svolgiamo i calcoli

C'(t) e^-A(t) - C(t) e^-A(t) a(t) + a(t) C(t) e^-A(t) = b(t)

2) INTEGRALE GENERALE DI UN'EQUAZIONE DIFFERENZIALE LINEARE DEL SECONDO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI.

L'integrale generale di Ay''(t) + By'(t) + Cy(t) = f(t) e dato da y(t) = y_om(t) + y_p(t).

Y_om e la soluzione dell'omogenea associata, per trovarla considerare il polinomio caratteristico:

P_CAR(z) = Az² + Bz + C

Se P_CAR ha Delta > 0 ha 2 zeri distinti reali z₁, z₂, allora:

y(t) = C₁ e^z₁t + C₂ e^z₂t

Se P_CAR ha Delta = 0 ha 1 zero doppio, allora:

y(t) = C₁ e^zt + C₂ t e^zt

Se P_CAR ha Delta < 0 ha 2 zeri distinti complessi coniugati, allora:

y(t) = C₁ e^at cos(bt) + C₂ e^at sen(bt)

Y_p e la soluzione particolare, ottenuta con la variazione della costante.

Y_p(t) = alpha(t) y₁(t) + beta(t) y₂(t)

Derivo e trovo y_p' = alpha' y₁ + alpha y₁' + beta' y₂ + beta y₂'

= (alpha y₁' + beta y₂') + alpha' y₁ + beta' y₂

e impongo alpha' y₁ + beta' y₂ = 0 per semplificare

Derivo una seconda volta

y_p'' = alpha' y₁' + alpha y₁'' + beta' y₂' + beta y₂''

Sostituendo nell'espressione generale Ay_p'' + By_p' + Cy_p = f

A(alpha' y₁' + alpha y₁'' + beta' y₂' + beta y₂'') + B(alpha y₁ + beta y₂) + C(alpha y₁ + beta y₂) = f

A(alpha' y₁' + beta' y₂') + alpha(Ay₁'' + By₁' + Cy₁) + beta(Ay₂'' + By₂' + Cy₂) = f

Ho raccolto alpha e beta

y₁ e y₂ sono soluzioni dell'equazione omogenea Ay'' + By' + Cy = 0, quindi si semplificano

A(alpha' y₁' + beta' y₂') = f

alpha' y₁' + beta' y₂' = f/A

otteniamo che per trovare una soluzione particolareci basta trovare a e B risolvendo il sistema

Wronskiano:

{

alf(t) y₁(t) + B'(t) y₂(t) = 0

alf'(t) y₁(t) + B'(t) y₂'(t) = g(t)/A

Che posso scrivere come

Y(t) [alf'B'] = [0g(t)/A]

da cui

[alf'B'] = Y^-1(t) [0g/A]

Y^-1(t) = 1/det Y(t) [ y₂' -y₂-y₁' y₁ ]

Y(t) = [ y₁ y₂y₁' y₂' ]

yp = alf(t) y₁(t) + B(t) y₂(t)

3) LUNGHEZZA DI UNA CURVA E TEOREMA DI RETTIFICABILITA DELLE CURVE REGOLARI

Per calcolare la lunghezza del sostegno di una curva gamma : [a,b] -> R^N procediamo per approssimazioni tramite linee poligonali.

Considero un numero finito di punti da cui passo la curva e li connetto tramite un segmento di lunghezza |x(t_i) - x(t_i+1)|

Ottengo un approssimazione per difetto.

La lunghezza sara la miglior approssimazione per difetto.

Def. Sia gamma : [a,b] -> R^N e sia [c,d] ⊂ [a,b] un sottintervallo si definisce lunghezza di gamma relativamen