Riassunto esame Statistica, Prof. Zenga Mariangela, libro consigliato Statistica descrittiva, G. Leti

Statistica

Introduzione alla statistica

Statistica: disciplina che studia e propone metodi per analizzare i fenomeni. I fenomeni possono essere analizzati su due ampiezze:

• Popolazione
• Campione (parte della popolazione)

Esempio di rilevazione

Esempio: voglio fare una rilevazione su tutti gli studenti che si sono immatricolati quest’anno al corso di ecoamm. Con N: ampiezza popolazione; n: ampiezza campionaria N=300, n=50. Utilizzo il campione, un sottoinsieme della popolazione (tutti gli studenti immatricolati), perché attraverso questo riesco ad ottimizzare tempo e costi.

Un revisore che deve verificare la legittimità di 10000 fatture prenderà un sottoinsieme (un numero più basso) di fatture in modo da ottimizzare costi e tempo; a questo punto il revisore dovrà prendere tutte le indicazioni sul campione e riportarle alla popolazione, altrimenti avrà un risultato valido solo per il campione preso in analisi. Per portare i risultati dal campione alla popolazione viene utilizzato uno strumento statistico chiamato inferenza.

Il concetto di campione è legato alla nozione di inferenza statistica: è quella parte della statistica che generalizza a livello di popolazione le conclusioni trovate sul campione.

Definizioni

• Popolazione: insieme delle unità statistiche da studiare
• Statistica descrittiva: studia le caratteristiche della popolazione
• Statistica inferenziale: utilizzo della probabilità per estendere alla popolazione lo studio/risultati ottenuti sui campioni.

Passi della statistica descrittiva

1. Formazione dei dati statistici
   • Formazione dei casi statistici
   • Rilevazione
   • Spoglio dei dati
   • Preparazione dei dati in tabelle o grafici
2. Trattamento matematico-statistico dei dati

Formazione dei casi statistici

Dopo aver individuato la popolazione, cerco le caratteristiche (caratteri) da misurare. Es: popolazione studenti. Caratteri:

• Genere
• Reddito
• Scuola di provenienza
• Età

I diversi “valori” assumibili dal carattere vengono definite modalità. Esempio: lavoratore Sì/No. Le modalità devono essere:

• Incompatibili: le unità devono essere “attribuite” ad una e una sola modalità.
• Esaustive: tutte le unità devono essere attribuite ad una modalità.

Esempio di modalità

Incompatibilità ed esaustività. Luogo di nascita (tra gli studenti):

• Milano
• Province di Milano (non Milano)
• Altre province lombarde (che non sia Milano)
• Altre regioni (non Lombardia)
• Estero

Classificazione dei caratteri

• Carattere quantitativo
  • Caratteri quantitativi discreti: le modalità assumono un numero finito di valori (es: "n° figli" = numeri naturali)
  • Caratteri quantitativi continui: le modalità possono assumere qualsiasi valore in un intervallo (a;b) numeri reali
• Carattere qualitativo: le modalità indicano categorie, attributi, ecc. e sono espresse da parole o espressioni. Es: luogo di nascita, genere, sesso delle matricole

Scale di misurazione

Si distinguono in base al tipo di carattere:

• Qualitativo
  • Nominale
  • Ordinale
• Quantitativo
  • Scala a intervalli
  • Scala di rapporti

Dettagli sulle scale di misurazione

Scala nominale: viene utilizzata solo per caratteri qualitativi, nei quali non è possibile un ordinamento “naturale” tra le modalità. (es: genere, religione, regione di appartenenza). Operazioni consentite: =, ≠

Scala ordinale: è possibile un ordinamento naturale tra le modalità. Es: stelle alberghi, livello di felicità (felicissimo, felice, né felice né infelice, infelice, molto infelice). Operazioni consentite: =, ≠, <, >

Scala a intervalli: viene utilizzata per caratteri quantitativi, dove non esiste lo zero assoluto o convenzionale. (assenza del carattere). Se ci sono anche i negativi non esiste lo zero assoluto, es: gradi Celsius, lo zero non rappresenta assenza di gradi. Operazioni consentite: =, ≠, <, >, +, -

Scala di rapporti: nella scala esiste lo zero assoluto. Es: monete nel borsello, n° di esami fatti, n° caffè bevuti. Operazioni consentite: =, ≠, <, >, +, -, x, :

Esiste una gerarchia tra le scale che si basa sulle operazioni consentite dalle stesse.

Rilevazione dati statistici

Rilevazione della modalità dei caratteri.

Questionari: i casi statistici vengono rilevati attraverso i questionari. Essi possono essere legati a:

• Indagini totali N: (su numerosità/ampiezza della popolazione; es: censimento)
• Indagini parziali n: (su numerosità/ampiezza del campione; es: indagini ISTAT)

Organizzazione dei dati raccolti

Viene introdotto lo strumento della matrice dei dati: matrice bidimensionale con K variabili, N unità. Genericamente: x_ij: modalità assunta per l’i-esima unità statistica sulla j-esima variabile.

Spoglio dei dati

La fase successiva è rappresentata dallo spoglio dei casi rilevati: riunire tutti i casi che presentano la stessa modalità per una determinata variabile. Es: tipo di maturità → tabella statistica univariata, relativa ad un solo carattere.

Distribuzione di frequenze assolute

Definizione: una tabella (distribuzione) di frequenze è una successione di modalità di un carattere con le rispettive frequenze.

Frequenza: numero di unità statistiche che presentano una certa modalità nella popolazione. (numero di volte in cui la modalità si presenta nella popolazione)

La distribuzione di frequenza di un carattere qualitativo è detta mutabile statistica.

Mutabile statistica generale

Una generale mutabile statistica con modalità: {a₁, a₂, ..., a_j, ..., a_s} può essere indicata con il seguente insieme delle coppie:

• (a_j, n_j): j=1, ..., S

dove n_j è la frequenza assoluta della modalità a_j. Generalmente la tabella si presenta in questo modo:

NB: se si tratta di una mutabile su scala ordinale (e non nominale) bisogna compilare la tabella nel giusto ordine.

Caratteri quantitativi

I caratteri quantitativi sono chiamati variabili statistiche.

Nel caso di un carattere discreto, sono caratterizzati dal fatto che le modalità assumono un numero finito di valori. Indicato con X avremmo: {x_j, n_j}, j=1, ..., S

Nel caso di caratteri continui le modalità vengono raggruppate in classi.

Ampiezza della classe:

• Nel caso di un carattere continuo si tratta della lunghezza dell’intervallo della classe. Ampiezza = estremo superiore - estremo inferiore.
• Nel caso di un carattere discreto si tratta del numero di modalità presenti nella classe.

Esempio: reddito familiare annuo in €

Definizione: tabelle di quantità/unita

Le tabelle (o distribuzioni) di quantità/unità sono successioni di modalità con le rispettive quantità (simile alla prima definizione ma qui non ci sono le frequenze assolute).

In questa tabella sono presenti entrambi i tipi di distribuzione:

• A: carattere qualitativo su scala ordinale: “n° di stelle dell’albergo”
• X: “n° di camere”

“Ci sono 2350 camere per gli alberghi con 2 stelle” ampliando il commento: “i 78 alberghi con 2 stelle in totale hanno 2350 camere.

Serie storiche

Particolarmente importanti sono le serie storiche: successione dell’ammontare di un fenomeno quantitativo in corrispondenza del carattere tempo.

Confronti: Sono utilizzate per fare confronti per vedere se il fenomeno è aumentato/diminuito rispetto agli anni precedenti.

Serie territoriali

Serie territoriali: successione di un fenomeno quantitativo in corrispondenza di divisioni territoriali.

Le serie territoriali sono quindi utili per fare confronti di dati tra regioni diverse (o territori in generale). In questo esempio per fare un commento ai dati statistici dovremmo relazionare il n° di ospedali presenti nella regione al n° di popolazione residente nella stessa.

Rapporti statistici

Rapporti statistici: divisione tra due dati di cui almeno uno di natura statistica. Vengono utilizzati per eliminare l’eterogeneità tra i dati e renderli così comparabili. Si dividono in:

• Rapporti di composizione
• Rapporti di densità
• Rapporti di derivazione
• Rapporti di coesistenza
• Rapporti Indici (numeri indici)

Dettagli sui tipi di rapporti

Rapporti di composizione: rapporto tra una frequenza/quantità legata ad una modalità e la frequenza/quantità totale. Un numero puro, non ha un’unità di misura.

Rapporti di densità: rapporto “depurato” dal campo di osservazione (spazio, tempo,...). Con questi rapporti si elimina l’influenza esercitata dal denominatore sulla grandezza al numeratore, e quindi si rendono confrontabili dati che, altrimenti, rimarrebbero eterogenei. (indicano quanta parte del numeratore fa riferimento ad una unità del denominatore)

Densità di popolazione (abitanti per km²) è un numero puro, non ha un’unità di misura.

Commento: il Regno Unito ha una densità di popolazione molto più elevata rispetto alla Francia nonostante quest’ultima abbia più del doppio della superficie in km². Si è andato a depurare l’effetto del campo di osservazione “superficie in km²”.

Altri tipi di rapporti

Rapporti di derivazione: rapporto tra un dato statistico X e un dato statistico Y che si ritiene sia la causa/presupposto del primo.

La propensione alla natalità è maggiore nella Valle d’Aosta.

Rapporti di coesistenza

Rapporti di coesistenza: rapporto tra dati statistici che coesistono.

Esempio: per ogni femmina ci sono 2.3 maschi.

Rapporti indici (numeri indici)

Rapporti indici: sono impiegati per facilitare la comprensione delle variazioni nel tempo e nello spazio di dati statistici.

Variazione assoluta di x dal tempo t_s al tempo t_j: x_t - x_s (con l’unità di misura di x)

Variazione relativa di x dal tempo t_s al tempo t_j: (x_t - x_s) / x_s (numero puro)

Esempio: Variazione assoluta di x dal 2014 al 2015

x₂₀₁₄ = 92.5, x₂₀₁₅ = 95.5; Variazione assoluta = 95.5 - 92.5 = 3

Variazione relativa di x dal 2014 al 2015 = (95.5 - 92.5) / 92.5 = 0.0324 (rispetto al 2014 il valore della x nel 2015 è aumentato del 3.24%)

Numeri indici

A base fissa: I_j.0 = x_j / x₀

Esempio: I_2015.2014 = 95.5 / 92.5 = 1.0324

A base variabile: I_j.j-1 = x_j / x_j-1

Esempio: "Il fenomeno x al tempo t₂ è aumentato di 0.73% rispetto al tempo t₁".

Relazione tra indici a base fissa e mobile

Esiste una relazione tra indici a base fissa e indici a base mobile: un indice a base fissa al tempo j può essere riscritto come il prodotto di numeri indice a base mobile.

I_j.0 = I_j.j-1 * I_j-1.j-2 * ... * I_1.0

Esempio: dati sui consumi di olio combustibile in Cina dal 1994 al 2004. Essendo l’indice a base fissa: I_2004.1994 = 2.0642; ed inoltre gli indici a base mobile: I_1995.1994 = 1.0749, I_1996.1995 = 1.0853, ..., I_2004.2003 = 1.1584.

Si verifica che: 1.0749 * 1.0853 * ... * 1.1584 = 2.0642

Frequenze relative

Le frequenze relative: la frequenza relativa della modalità a_j è fornita dal rapporto tra la frequenza assoluta n_j e la frequenza totale N.

fr_j = n_j / N

Proprietà delle frequenze relative:

• fr_j ≥ 0, ∀ j = 1, ..., S
• ∑fr_j = 1

Dimostrazione in forma tabellare:

Frequenze cumulate

Frequenze cumulate: La frequenza cumulata della modalità a_j è data dalla somma delle frequenze delle modalità fino ed incluso a j.

• Ha senso calcolarle solo per caratteri ordinati, ovvero: qualitativi su scala ordinale, quantitativi.

Proprietà:

• C_j = C_j-1 + n_j

Calcolo delle frequenze cumulate relative:

• F_j = C_j/N

Casi particolari: C₁ = n₁, C_S = N

Esempio di frequenze cumulative

Esempio: C_j frequenza cumulata della modalità relativa al titolo di studio nel Nord-Ovest:

Commento: nel 2015 gli italiani abitanti nel nord-ovest con più di 15 anni che hanno al massimo un titolo di studio di diploma superiore erano 12012 (migliaia); nel 2015 circa il 50% degli abitanti nel nord-ovest con almeno 15 anni avevano al massimo un titolo di studio di licenza media.