Riassunto esame Statistica, Prof. Posa Donato, libro consigliato Fondamenti di Statistica descrittiva, Donato Posa - Sandra De Iaco - Monica Palma

Indici di forma, asimmetria e curtosi

Asimmetria

Indici di forma asimmetria curtosi - asimmetria.

d₁ = x̄ - Me

d₂ = x̄ - Mo

Serie di dati: d₁ = x̄ - Me, d₂ = x̄ - Mo.

Distrib. di freq.: d_o = x̄ - Mo dove Mo ≈ x̄ - 3(x̄ - Me).

A₁ = x̄ - Me / σ

A₁ = x̄ - Mo / σ

α₃ = Σ_i=1ⁿ (x_i - x̄)³ / nσ³

γ₁ = Σ_i=1^s (x_i - x̄)³ m_i / mσ³

Distrib. di frequenza°

Indice di curtosi

Indice di curtosi

γ₂ = Σ_i=1^s (x_i - x̄)⁴ m_i / mσ⁴ - 3

γ₂ = -2

Indici assoluti e relativi

Indici di forma asimmetria curtosi - asimmetria d₁ = x̄ - Me d₂ = x̄ - Mo.

Serie di dati d₁ = x̄ - Me d₂ = x̄ - Mo.

Distrib. di freq. d₂ ≃ x̄ - Mo dove Mo ≃ x̄ - 3(x - Me).

A₁ = x̄ - Me / σ

A₁ = x̄ - Mo / σ

γ_α = Σ_i=1 (x_i - x̄)³ / nσ³

Distrib. di frequenza γ₂ = Σ_i=1 (x_i - x̄)³ m_i / mσ³

Indici assoluti

Indici relativi permette di fare confronti.

Indice di curtosi γ₂ = Σ_i=1 (x_i - x̄)³ m_i / mσ³. 3

Consente di valutare la proporzione delle frequenze corrispondenti alle modalità estreme.

γ₂ = -2

Distribuz. statistiche doppie

Distribuz. statistiche doppie (consideriamo più caratteri).

Definiamo carattere x e y, i=1, 2, ..., s e j=1, 2, ..., t.

n_ij = freq. assolute congiunte.

n_ij freq. relativa alle i-esima x e j-esima y.

1. Individuare modalità del carattere x e y.

X\Y 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 0 2 0 2

1 0 0 0 1 0 2 3

2 2 2 0 1 0 0 5

3 2 2 1 0 0 0 5

4 0 1 2 4 0 0 11

5 0 0 5 0 0 0 5

6 2 1 0 0 0 0 3

6 6 10 6 5 4 3 3 freq. assolute con cui la modalità x si è presentata.

2) Distribuz. marginale carattere x e y.

xi | mi_xi

0 | 2

1 | 3

2 | 5

3 | 5

4 | 11

5 | 5

6 | 2

33

yi | mo_yi

2 | 5

3 | 7

5 | 10

6 | 5

7 | 6

33

Guarda le frequenze a quelle modalità.

3) Distrib. parziale.

Distrib. parz. del carattere Y condizionato alle modalità del carattere X: x₂

yi | ni_yj

2 | 0

3 | 0

5 | 2

6 | 1

7 | 0

3

Dipendenza tra caratteri

Dipendenza tra caratteri: se c'è dipendenza possiamo calcolare la regressione.

Indipendenza in media di Y rispetto a X.

Assumpta una distribuz. doppia di frequenze per 2 caratteri X ed Y, esiste indipendenza in media di Y rispetto ad X se e solo se:

errore _i: ^tΣi=1 : _yi:mij = m_io, , t, 1, 2, , , m X Y 2 3 2 4 3 6 3 6 4 12 calcolo indip. in media di Y rispetto a X.

x̄_y1 = ^tΣ ⁱ⁼¹12:2 + 6 + 3 = 24

12 = 2,16

x̄_y2 = ^tΣ ⁱ⁼¹1+1+2+3+3 = 2

2,16

C'è indipendenza in media di Y rispetto XY rispetto e Y.

x̄₁ = ^tΣ ⁱ⁼¹2:2+6+2 = 25

8:3

x̄₂ = ^tΣ ⁱ⁼¹2:6+6:3

12+12

x̄₃ = ^tΣ ⁱ⁼¹5+4+4:2 = 2,6

Analisi della regressione

L'analisi della regressione di 2 caratteri quantitativi si sviluppa di solito attraversa le seguenti fasi:

1. Scelta del modello, attraverso la funzione che più riesce a rappresentare la relazione di dipendenza, in media, del carattere dipendente da quello indipendente.
2. Calcolo dei coefficienti del modello, mediante il metodo dei minimi quadrati.
3. Calcolo di opportuni indici statistici per verificare la bontà del modello.

Modello di regressione lineare

Modello di regressione lineare o funzione di regressione.

ŷ = b₀ + b₁x

b_o => intercetta della funz. lineare.

b₁ => coeff. angolare.

ŷ => valore teorico.

y_i => valore empirico.

I parametri b_o e b₁ devono essere calcolati in maniera tale da rendere minima la seguente funzione.

G(b₀, b₁) = Σ_i=1^m(ŷ_i - y_i)²

Ovvero:

G(b₀, b₁) = Σ_i=1^m(b₀ + b₁x_i - y_i)²

*Nelle regress. e modelli supervisionati - permettono di fare previsioni.

NB.: Supervisi.

Se ci classifica parlano di modelli non supervisionati.

L'epifania dei minimi quadrati richiede che venga determinato il minimo delle funte:

Annuliamo le derivate parziali prime.

La regressione implica il concetto di dipendenza in media (c'è, tiene i due carattere).

b₀ = ȳ - b₁ x

ŷ = b₀ + b₁ x

Indice di determinazione

Indice di determinazione (varia tra 0 e 1).

L'ultima fase dell'analisi della regressione consiste nel valutare la bontà di adattamento della funzione di regressione individuata ai valori osservati.

L'indicatore che tale scopo è l'indice di determinazione R².

R² = Dev(R) = ∑_i=1ⁿ( ŷ_i - ȳ )²

Dev(Y) ∑_i=1ⁿ( Y_i - ȳ )²

ŷ = b₀ + b₁ x

R² = Dev(R) - ∑_i=1ⁿ( ŷ_i - ȳ )²

Dev(Y) ∑_i=1ⁿ( Y_i - ȳ )²

Dev(Y) = _t=1ⁿ∑(y_i - ȳ)² + _t=1^m∑(ŷ_i - ȳ)²

_{Dev(R) + Dev(E)}/_Dev(Y)

_Dev(R)/_Dev(Y) ↓ 1

Ricapitolado indici di determinazione.

L’adatt. delle fun. di regressione a descrivere la dipendenza lineare di Y da X può essere valutato mediante il rapporto tra lo Dev. di regress. e la dev. totale.

R² = _Dev(R)/_Dev(Y) = _t=1^m∑(ŷ_i - ȳ)² / _t=1^m∑(y_i - ȳ)² con Dev(Y) ≠ 0

Se Dev(Y) = 0:

R² = 1 , Dev(E) ¹ / _Dev(Y) bbbb _t=1^m∑(ŷ_i - y_i)² / _t=1^m∑(y_i - ȳ)²

L’indice R² soddisfa le proprietà 0 ≤ R² ≤ 1.

Nel caso di una tabella a doppia entrata.

R² = _Dev(R)/_Dev(Y) = _t=1^m∑(ŷ_i - ȳ)² / m_o / _t=1^m∑(y_i - ȳ)² / m_io

Ricapitolando fini della regressione

Ricapitolando fini della regressione.

• Diagramma di dispersione.
• Assegnati 2 caratteri quantitativi x e y, esiste concordanza se all'aumentare di un carattere, aumentano i valori osservati.
• Definiamo una funzione (di tipo lineare) y = d(x) + ε errore.
• Deterministica: descrive esattamente ciò che stiamo osservando.
• > Errore, modelli meno precisi.
• 0 + b₁ x funzione di regressione.
• Obiettivo: definire una funzione caratterizzata dai parametri b₀ e b₁.
• b₀ -> intercetta.
• b₁ -> coeff. angolare.
• Stima parametri: b₀ e b₁ utilizzando minimi quadrati.
• (Per rendere minima la differenza/distanza tra i valori e la nostra rette).
• Modello: descrive in maniera semplice un fenomeno.

ŷ - valore teorico.

y̅ - valore empirico.

L'applicazione dei minimi quadrati richiede che venga determinato il min. della funzione G(b₀,b₁), ossia:

min_(b0,b1) min_(b0,b1) [∑_i=1ⁿ (b₀ + b₁x_i - y_i)²]

La ricerca del suddetto minimo si ottiene annullando le derivate parziali prime rispetto ai parametri b₀ e b₁, ovvero:

{∂G(b₀,b₁)/∂b₀ = 0 → ∑_i=1ⁿ 2(b₀ + b₁x_i - y_i) = 0

∂G(b₀,b₁)/∂b₁ = 0 → ∑_i=1ⁿ 2(b₀ + b₁x_i - y_i)x_i = 0

m b₀ + n b₂ x̅ = m ȳ

m b₀ + b₂ ∑_i=1^m x_i² = ∑_i=1^m x_i y_i

{b₁ = ∑_i=1^m x_i y_i - m x̅ ȳ / ∑_i=1^m (x_i - x̅)²

b₀ = ȳ - b₁ x̅

b₁ è da info relative al nostro modello 1 - ∞ , + ∞

Se b₂ positivo: concordanza coeff. angolare positivo: all'aumentare di x, y aumenta proporzionalmente.

Se b₂ negativo: discordanza x diminuisce in media al carattere y.

Se nullo: retta parallela all'asse delle ascisse: non esiste legame di dipendenza in media tra x e y, il che non significa che ci sia indipendenza tra i 2 caratteri.

Se esiste indipendenza, ricaviamo b₂ = nullo.

Concordanza discordanza: assegnati 2 caratteri quantitativi, esiste concordanza quando la retta ha un andamento crescente.

Se R² = 1, la dispersione dei valori stimati rispetto alla retta è nulla: val. stimati = val. osservati.

L'ultima fase è nella "bontà di adattamento" della finestra di regressione.

R² =   ⁸    ∑_i=i (ŷ_i-ȳ)^{2   i=1}   -----------------   ⁸    ∑_i=1 (y_i-ȳ)²

ŷ_i (ŷ_i-ȳ)² (y_i-ȳ)²

3,144 14,864 25

6,036 0,729 9

5,072 3,712 1

4,108 8,364 0

7 0 4

7,961 0,929 9

8,928 1

13,748 36

78,061 96

R² = ⁸∑_i=i (ŷ_i - ȳ)² = 78,061 ≈ 0,830   ∑_i=1 (y_i - ȳ)²                 96

Valori R² prossimi ad 1 indicano una elevata attitudine delle finestra di regressione a riprodurre la relazione di dipendenza lineare di Y da X.

In questo caso il valore R² esisterebbe una buona capacità della finestra di regressione ŷ = 2,180 + 0,964 x a spiegare la dipendenza del carattere Y da X.

Codevianza e covarianza

Codevianza.

Assegnati 2 caratteri quantitativi X e Y si definisce covarianza tra X ed Y e si indica con Covar(X,Y), la somma dei prodotti degli scarti dei valori corrispondenti di X ed Y.

Covar(X,Y) = Σ_i=1ⁿ (x_i - - x) (y_i - - y) :Σ_i=1ⁿ x_iy_i - n - x - y

Covar >0 se c'è concordanza tra X e Y.

Covar <0 se c'è discordanza tra X e Y.

Covar nulla se non esiste né concord. e né discord tra X ed Y.

Per distribuz doppia di freq.

Covar(X,Y) = Σ_i=1^r Σ_j=1^t x_iy_jn_i,j - n - x - y

Quindi.

Covar(X,Y) = Σ_i=1ⁿ x_iy_i - n - x - y distribuz doppia unitaria.

Covar(X,Y) = Σ_i=1^r Σ_j=1^t x_iy_jn_i,j - n - x - y per tabelle doppie entrate con modalità distinte.

Oppure.

Covar(X,Y) = Σ_i=1^r Σ_j=1^t (x_i - - x)(y_j - - y) n_i,j

Coefficiente di correlazione lineare di Pearson

Coefficiente di correlazione lineare di Pearson.

Assegnati 2 caratteri quantitativi X ed Y, si definisce coeff. di correlaz. lineare tra X e Y e si indica con r il rapporto tra.

r = Cov(X,Y)

Con Dev(X) Dev(Y) ≠ 0

Per distribuzione doppia di frequenze:

r = Cov(X,Y)

Con Dev(X) Dev(Y) ≠ 0

Proprietà coeff. di correlaz. lineare

Proprietà coeff. di correlaz. lineare.

Il coeff. di correlaz. lineare può assumere qualunque valore nell'intervallo [-1,1].

• r = -1 esiste una perfetta relaz. lineare decrescente tra i caratteri.
• r = 0 non esiste una relaz. // ossia né concord. né discord.