Riassunto esame Statistica inferenziale, Prof. Massa Paola, libro consigliato Statistica, Simone Borra

Statistica IIA.A. 2022/2023

Inferenza statistica

L'inferenza statistica è una tecnica che utilizza i dati raccolti da un campione per conoscere i parametri incogniti di una popolazione. È il contrario di un censimento, cioè un’indagine statistica svolta su tutta la popolazione. Le indagini campionarie permettono di ridurre i costi e i tempi necessari per il suo svolgimento.

L’inferenza è un processo che ci permette di ricevere la stima di un parametro incognito, basandosi su un’informazione parziale e dunque soggetta ad errore.

• Stima → valore noto del campione che si indica con le lettere latine;
• Parametro → valore incognito della popolazione che si indica con le lettere greche;
• Errore → dipende dalla dimensione del campione (più è ampio il campione, minore è l’errore). Si fa riferimento all’ampiezza della popolazione con la lettera N, con la lettera n si fa riferimento all’ampiezza del campione.

Campionamento

È necessario fare una prima distinzione tra:

• Popolazione finita → è un insieme di N unità su cui si può osservare un certo carattere. I parametri della popolazione sono delle costanti che descrivono un carattere della popolazione stessa;
• Popolazione infinita → è un insieme di tutte le unità potenzialmente osservabili e non necessariamente già esistenti. I parametri d’interesse sono rappresentati da variabili casuali con una certa distribuzione di probabilità.

Nel caso in cui N sia abbastanza grande, lo studio di popolazioni finite può essere ricondotto a quello delle popolazioni infinite. Tra le varie tecniche di campionamento, le principali sono:

• Campionamento casuale semplice → si procede con l’estrazione casuale delle unità; dunque, i campioni di eguale dimensione hanno la stessa possibilità di essere estratti;
• Campionamento casuale stratificato → la popolazione viene suddivisa in strati, ognuno dei quali contiene unità omogenee secondo qualche criterio;
• Campionamento casuale a grappoli → la popolazione viene suddivisa in sottoinsiemi detti grappoli; si estraggono casualmente dei grappoli e da lì si considerano tutte le unità dei grappoli estratti;
• Campionamento casuale a due stadi → la popolazione viene suddivisa in grappoli, al primo stadio si estraggono dei grappoli; al secondo stadio si estraggono le unità dai grappoli.

Statistiche campionarie e distribuzioni campionarie

Una statistica campionaria è una funzione a valori reali delle osservazioni campionarie. È una variabile casuale a cui è associata una distribuzione di probabilità detta distribuzione campionaria.

Distribuzione della media campionaria nelle popolazioni finite

Considerando una popolazione finita dalla quale viene estratto un campione casuale, il valore atteso della media campionaria sarà uguale alla media della popolazione.

La varianza della media campionaria sarà data da: \((\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}(1-\frac{n}{N})\).

Se la dimensione campionaria n è sufficientemente ampia, ma allo stesso tempo molto più piccola di N, allora la distribuzione campionaria della \(\bar{X}\) può essere approssimata ad una distribuzione Normale con media \(\mu\) e varianza \(\frac{\sigma^2}{n}(1-\frac{n}{N})\).

Distribuzione della media campionaria nelle popolazioni infinite

Considerando una popolazione infinita dalla quale viene estratto un campione casuale, il valore atteso della media campionaria sarà uguale alla media della popolazione. La varianza della media campionaria sarà data da: \((\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}\).

Se la popolazione ha una distribuzione Normale allora la distribuzione della media campionaria sarà anch’essa una Normale: \(\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\).

Nella distribuzione della media campionaria, la variabilità si riduce quanto più aumenta la dimensione campionaria. Fatta eccezione per pochi casi, il calcolo della distribuzione esatta della media campionaria è molto complesso. Si necessita, perciò, di un’approssimazione della distribuzione \(\bar{X}\), possibile grazie al Teorema del Limite Centrale.

Secondo tale teorema, indipendentemente dalla distribuzione della popolazione da cui i campioni sono stati estratti, se l’ampiezza del campione è elevata, la distribuzione della somma (o in questo caso della media) di n variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite (iid) tende approssimativamente ad una distribuzione Normale. Dunque, qualunque sia la popolazione X:

\[\lim_{n \to \infty} P(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le z) = \Phi(z)\]

Dove Z è una variabile casuale Normale standardizzata.

Stima puntuale

La stima puntuale dei parametri permette di individuare una funzione dei dati campionari che fornisca una buona approssimazione del parametro ignoto. A tal proposito sono necessari due elementi:

• Stimatore → variabile casuale utilizzata per determinare una caratteristica della popolazione; si indica con \(T = T(X_1, X_2, ..., X_n)\);
• Stima → valore assunto dallo stimatore in corrispondenza di un particolare campione; si indica con \(t = T(x_1, x_2, ..., x_n)\).

Lo stimatore, essendo una funzione delle osservazioni campionarie, è una variabile casuale con una sua distribuzione campionaria la cui conoscenza ci permette di capire se lo stimatore scelto produrrà una stima “vicina” al vero valore del parametro.

Proprietà dello stimatore

Potendo scegliere tra più stimatori, serve tenere a mente le proprietà che uno stimatore deve possedere per essere preferito agli altri. Le proprietà si dividono in esatte (quando il campione è finito) e asintotiche (quando il campione tende ad infinito). Le proprietà esatte sono:

• Correttezza → uno stimatore T è corretto se il suo valore atteso è uguale al suo parametro per tutti i possibili valori di θ, quindi \(E(T) = \theta\). Se E(T) è diverso da θ, allora T sarà distorto. La distorsione di uno stimatore si indica con \(B(T) = E(T) - \theta\).
• Efficienza → uno stimatore è più efficiente quanto più T è prossimo a θ. Per valutare l’efficienza si ricorre all’errore quadratico medio (Mean Square Error, MSE), dato da \(MSE(T) = E[(T - \theta)^2]\). L’errore quadratico medio è uguale alla somma tra la varianza dello stimatore e la sua distorsione al quadrato: \(MSE(T) = Var(T) + [B(T)]^2\). Uno stimatore è più efficiente quanto più il suo errore quadratico medio è ridotto.

Le proprietà asintotiche sono:

• Consistenza → uno stimatore è consistente se la sua precisione aumenta all’aumentare della numerosità del campione. Uno stimatore \(T_n\), dove n indica la dipendenza dello stimatore dalla numerosità campionaria, è consistente se l’errore quadratico medio tende a zero al tendere a più infinito della numerosità campionaria: \(\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = 0\). L’errore quadratico medio tende a zero se e solo se sia la varianza che la distorsione tendono a zero all’aumentare della numerosità del campione.
• Correttezza asintotica → uno stimatore è asintoticamente corretto se, nonostante sia distorto, all’aumentare della dimensione campionaria, il suo valore atteso tende al vero valore del parametro: \(\lim_{n \to \infty} E(T_n) = \theta\).

Stima puntuale della media

Considerando una popolazione X, che potrebbe anche distribuirsi normalmente, la media campionaria è uno stimatore corretto in quanto \(E(\bar{X}) = \mu\), ed è anche uno stimatore consistente in quanto la varianza della media campionaria tende a 0: \(\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}) = 0\).

Stima puntuale della proporzione

Considerando una popolazione X come una Bernoulli con parametro p, la media campionaria dello stimatore è corretta in quanto \(E(\bar{X}) = p\), ed è anche uno stimatore consistente in quanto la varianza della media campionaria tende a 0: \(\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}) = 0\).

Considerando p la proporzione del campione e π la proporzione della popolazione (infinita), possiamo affermare che la proporzione campionaria si distribuisce normalmente: \(\hat{p} \sim N(p, \frac{p(1-p)}{n})\).

Stima puntuale della varianza

Dato un campione di dimensione n estratto dalla popolazione X, si definisce varianza campionaria corretta lo stimatore:

\[s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\]

è uno stimatore corretto della varianza della popolazione in quanto \(E(s^2) = \sigma^2\).

Stima intervallare

Il principale svantaggio della stima puntuale è legato alla casualità delle osservazioni campionarie. Infatti, anche utilizzando uno stimatore con proprietà ottimali, la stima puntuale sulla base di un campione può essere molto diversa dal vero valore del parametro.

Per ovviare a questo limite, si considera una stima intervallare, cioè un intervallo di stime plausibili, costruito sulla base della stima puntuale, entro cui può essere compreso il parametro secondo un indice di affidabilità (solitamente fissato al 90%, 95%, 99%).

Si definisce intervallo di confidenza di livello \(1 - \alpha\) per un parametro un intervallo casuale di valori che contiene con probabilità \(1 - \alpha\) il parametro ignoto.

Il livello di confidenza misura l’accuratezza dello stimatore per intervallo. Maggiore è il livello di confidenza, maggiore è la probabilità che l’intervallo contenga il parametro ignoto.

Intervallo di confidenza per la media con varianza nota

Considerando un determinato carattere X osservato su una popolazione, e avendo la varianza nota, sappiamo che la media campionaria e di conseguenza la sua variabile casuale standardizzata, si distribuisce come una Normale. Essendo l’asse di simmetria, si indica con \(z_{\alpha/2}\) quel valore tale che nel punto \(z = 0\), si ha che \(P(Z < -z_{\alpha/2}) = \alpha/2\).

\[P(-z_{\alpha/2} \le \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha\]

\[P(\bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) = 1 - \alpha\]

I valori si possono calcolare... (continua testo originale)