Riassunto esame Elementi di statistica, Prof. Mignani Stefania, libro consigliato Statistica – metodologie per le scienze economiche e sociali, Borra, Di Ciaccio

6. Elementi di statistica

Introduzione

La statistica è una disciplina che ha come fine lo studio quantitativo e qualitativo di un particolare fenomeno in condizioni di incertezza.

• Descrittiva: studia il fenomeno relativo ad un campione (parte di popolazione).
• Inferenziale: estende i risultati ottenuti su un campione all’intera popolazione.

ES: Se studio un fenomeno su 100.000 abitanti della città -> estraggo 100 soggetti -> studio il fenomeno su questi soggetti (analisi descrittiva) -> estendo lo studio al resto della popolazione (statistica inferenziale).

Campionamento casuale semplice: quando i campioni vengono scelti a caso dalla popolazione -> ogni unità ha la stessa probabilità di essere campionata.

Campionamento stratificato: quando il campione riflette perfettamente la popolazione.

Frequenze assolute

n° componenti = carattere / fenomeno.

n = numerosità del campione -> quanti soggetti osservati.

Modalità del carattere: X.

Frequenze assolute: N -> la quantità di osservazioni in corrispondenza del carattere.

Frequenze relative

Carattere: n° componenti.

Frequenza relativa -> il rapporto tra frequenza assoluta e totale.

Vedi: F. Doppia 1.

Frequenza relativa percentuale

Frequenza relativa cumulata

Frequenze per classi

Se il carattere è quantitativo, si definisce suddivisione in classi del carattere l’operazione consistente nel suddividere l’insieme dei possibili valori in intervalli tra loro disgiunti -> Le classi possono avere uguale o diversa ampiezza.

Frequenza assoluta F. relativa densità di frequenza 2.

Fenomeni quantitativi qualitativi

Rappresentati da variabili statistiche [numeri] rappresentati da mutabili statistiche.

• Discrete, se sono numeri interi, es: n° componenti famiglia.
• Rettilinee se ordinate, es: titolo di studio.
• Cicliche se ordinate ma con inizio convenzionale, es: giorni della settimana.
• Continue, che includono anche valori decimali, es: reddito.
• Sconnesse se non ordinate, es: facoltà.

Le classi poi sono possono essere: frequentata.

https://www.okpedia.it/statistica

I grafici

3.

Le medie e le misure di variabilità

Una media è un’informazione sintetizzata di un fenomeno osservato.

-> Campione X di famiglia con una media di reddito annuo di 25 mila €.

Per ogni forma vedremo:

• Caso semplice.
• Caso ponderato.

Caso ponderato: tutte le frequenze sono ≠ 1 -> ogni soggetto corrisponde alla propria modalità.

Caso semplice: tutte le frequenze assolute = 1 -> numerosità del campione = numerosità delle modalità del carattere X.

Medie analitiche

Il valore che sostituito a tutti i valori X lascia invariata una certa quantità.

Media aritmetica semplice

Quel valore che se sostituito ai valori osservati X lascia invariata la somma.

È la somma dei valori osservati diviso il loro numero.

In questo caso scrivere o è la stessa cosa in quanto n = s.

Media aritmetica ponderata

Nel caso ponderato è necessario riportare le frequenze dato che sono ≠ 1.

Le famiglie osservate hanno in media 1.73 componenti ciascuna.

Media aritmetica ponderata [per classi]

Vediamo il caso ponderato con una variabile statistica continua: dobbiamo effettuare un’operazione in più in cui calcolare i valori di x come valori centrali di ogni classe:

Una volta ricavate le x procediamo con il caso discreto:

Se questo fenomeno x è il reddito annuo delle famiglie -> le famiglie percepiscono in media 6.670€ annua ciascuna. 4.

Proprietà della media aritmetica

Traslativa: aggiungendo ai valori una certa quantità anche la media aritmetica M risulta incrementata della stessa quantità.

Es: 1, 2, 3 M=2 -> aggiungo +10 = 11, 12, 13 -> M= 2+10 = 12.

Moltiplicativa: moltiplicando i valori per una certa quantità anche la media aritmetica M risulta moltiplicata della stessa quantità.

Es: 1, 2, 3 M=2 -> moltiplico • 10 = 10, 20, 30 -> M= 2•10 = 20.

Associativa: la media generale = media ponderata delle medie parziali.

Es: Gruppo 1 - 22, 23, 24 -> M = 23.

Gruppo 2 - 26, 27, 28, 29, 30 -> M = 38.

Media generale = (22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30) / 8 = 26.1.

Medie parziali = (23•3 + 28•5) / 8 = 26.1.

Nullità somma degli scarti: la somma algebrica degli scarti (differenze) dei valori x della media M=0.

Es: 1, 2, 3 M=2 -> 1-2 = -1, 2-2 = 0 3-2 = 1 -> -1+0+1 = 0.

Minimo della somma del quadrato degli scarti: non esiste nessun valore diverso dalla media dal quale fare la differenza delle x che al quadrato mi dia una somma inferiore.

Es: 1, 2, 3 M=2 -> (1-2)² =1 (2-2)² =0 (3-2)² =1 -> 1 + 0 + 1 = 2 = minimo 5.

Medie di posizione

Anche chiamate “medie lasche”: moda mediana e percentili.

Sono calcolate in base a posizioni che assumono all’interno di una graduatoria o alla frequenza (nel caso della moda).

N.B. Per calcolare queste medie va ordinato il valore di X (crescente o decrescente).

Es: 3, 2, 5, 4 -> 2, 3, 4, 5.

1) Moda

È una delle medie più utilizzate: è una media di posizione che può essere calcolata per qualsiasi carattere.

Distribuzione assoluta

È la modalità del carattere che si presenta con la massima frequenza -> si può calcolare sempre. N.B. Non esiste se tutti i caratteri hanno la stessa frequenza.

*Può accadere che non identifichi un valore unico (a differenza della media aritmetica) o che addirittura non esista.

Frequenza più alta = 7.

Moda = 1.

Distribuzione per classi

In questo caso, la moda sarà la classe in corrispondenza della maggiore densità di frequenza -> classe modale.

La classe modale è l’intervallo corrispondente la massima densità di frequenza.

Abbiamo tre classi: [0-5 = 5] [ 5-8 = 3] [8-10 = 2].

Densità di frequenza più alta -> 1.67, classe 5-8.

2) Mediana

La mediana è il valore che occupa il posto centrale nella successione ordinata delle n osservazioni individuali: divide la graduatoria in 2 parti uguali. Lascia il 50% dei valori a destra e il 50% a sinistra.

Casi:

• N dispari.
• N pari.

La mediana non coincide col valore osservato x -> la media tra i due valori centrali. 6.

3) Valore centrale

Valore tra il minimo valore osservato di x ed il massimo valore osservato di x.

Indici di posizione

Se la mediana divide la graduatoria in due parti, esistono altri indici con le relative divisioni.

Distribuzione assoluta

Dividono la graduatoria in 4 parti uguali: sono tre.

Dalla distribuzione delle frequenze relative cumulate Fj è immediato trovare:

• Q = 1 [figlio]1.
• Q = Mediana = 2 [figli]2.
• Q = 3 [figli]3.

Nel primo caso, il 40% delle famiglie non ha più di un figlio.

Nel secondo caso il 70% non ha più di 2 figli.

Nel terzo caso invece il 90% delle famiglie non ha più di 3 figli.

Distribuzione per classi

Si ricava subito che Q = Mediana = 5-82 -> Q = 3-5 Q = 10-201 3.

Boxplot

È una rappresentazione della distribuzione.

Data una certa frequenza, ci calcoliamo i quartili.

Q = 11.

Q = Me = 22.

Q = 33.

DI = Q - Q = 2.

D. interquartilica 3 1.

Mediana = 2 7.

Variabilità

La variabilità e la mutabilità studiano l’eterogeneità de