Riassunto esame Statistica, Prof. Caviezel Valeria, libro consigliato Statistica: metodologie per le scienze economiche e sociali, Borra

STATISTICA

1. Introduzione

, dopo l’evoluzione delle scienze, grazie a Galileo, assume le caratteristiche di ricerca

La Statistica

di un metodo, con lo scopo di: dare basi scientifiche alle indagini e alle rilevazioni per garantire una

buona affidabilità, sintetizzare in modo appropriato un insieme di dati per riuscire a descriverli; dal

XVII secolo, inoltre, si cerca di arrivare anche a delle sintesi attraverso indici e indicatori sempre più

complessi (media, variabilità, dipendenza…). Come la matematica, è uno strumento che aiuta nella

risoluzione di problemi semplici o complessi, aiutando a comprendere meglio la realtà.

La statistica è l’insieme delle metodologie finalizzate alla raccolta e all’analisi dei dati per lo studio

di fenomeni collettivi che presentano un’attitudine a variare (si studiano le osservazioni di un insieme

di manifestazioni individuali); è l’insieme dei metodi per: progettare e pianificare come devono essere

raccolti i dati; descrivere, sintetizzare e interpretare i dati, anche in condizioni di incertezza.

Operazioni tipiche delle analisi statistiche sono: il conteggio, la classificazione, la misurazione e la

sintesi (tramite modelli esplicativi dei fenomeni reali).

Ecco di seguito qualche definizione: unità statistica (unità elementare su cui vengono osservate le

variabili), collettivo o popolazione (insieme delle unità statistiche omogenee rispetto ad un fattore),

variabile (caratteristica osservata sull’unità statistica. Può essere: di stato o di movimento, si precisa

un istante o un arco di tempo; empirico o teorico, tutte le unità sono: osservabili o non osservabili;

finito o infinito), modalità della variabile (modo di manifestarsi della variabile sull’unità statistica).

La variabile deve presentare un’attitudine a variare; esistono 2 modalità con cui può manifestarsi:

modalità non numeriche o qualitative (può essere: sconnessa o nominale, se sono uguali o diverse,

come la cittadinanza o il luogo di nascita; ordinata, ma la distanza tra 2 modalità consecutive non è

costante, rettilineo o ciclico, come il titolo di studio), modalità numeriche o quantitative (possono

essere misurate: su scala di intervalli, dove lo 0 della scala non è assoluto, come la temperatura; su

scala di rapporti, dove lo 0 della scala è assoluto, come il reddito. Si suddividono in: v. continue,

insieme delle modalità ammissibili che può essere messo in corrispondenza con R attraverso uno

strumento, come il peso; v. discrete, insieme delle modalità ammissibili che può essere messo in

corrispondenza con N attraverso un conteggio, come il numero dei figli).

Per acquisire i dati si utilizzano le rilevazioni, che possono essere: r. sperimentali (come le ipotesi di

lavoro e la possibilità di controllo) e r. osservazionali (attraverso l’indagine statistica).

In campo socio-economico, l’indagine statistica serve per conoscere un collettivo di unità, inteso

come insieme di unità statistiche sulle quali si manifesta il fenomeno oggetto di studio; può essere:

i. totale o censuaria (variabili rilevate su tutte le unità statistiche del collettivo, come il censimento) e

i. campionaria (variabili rilevate su un sottoinsieme di unità statistiche del collettivo, chiamato

campione). Dato un insieme di variabili di interesse e una popolazione di riferimento, quindi,

l’indagine va a osservare/misurare le manifestazioni (o modalità) delle variabili sulle singole unità

statistiche. Ha diverse fasi: fenomeno da indagare, produzione e raccolta di dati, elaborazione,

analisi e sintesi dei dati.

Si distingue la statistica descrittiva dall’inferenza statistica; la statistica descrittiva fornisce gli

strumenti per sintetizzare ed esplicitare in forma corretta il modo in cui il fenomeno si è manifestato

nel collettivo osservato; l’inferenza statistica, invece, permette di misurare e controllare l’attendibilità

delle informazioni provenienti da un campione (estrazione del campione).

Ecco di seguito un esempio di matrice di dati:

La statistica descrittiva si articola in: univariata (descrive il comportamento di un variabile, attraverso:

distribuzioni di frequenza, grafici, medie, variabilità e asimmetria), bivariata (studia la relazione che

intercorre tra 2 variabili) e multivariata (studia la relazione che intercorre tra 3 o più variabili). La

stessa modalità può essere ripetuta nella stessa colonna anche molte volte; ogni colonna

corrisponde alla distribuzione unitaria della variabile; scelta una variabile X tra quelle disponibili,

dalla tabella è sempre possibile individuare la modalità assunta da ogni unità statistica del collettivo;

scelta una statistica del collettivo, è sempre possibile individuare la modalità che questa unità

presenta in corrispondenza di ogni variabile considerata.

2. Le frequenze

Le distribuzioni statistiche descrivono il modo in cui una o più variabili si manifestano in un dato

collettivo; si distinguono, quindi: d. semplici (una singola variabile), d. doppie (2 variabili) e d. multiple

(più di 2 variabili). L’elenco delle modalità osservate si chiama distribuzione unitaria.

Per quanto riguarda le frequenze, indicano il numero di volte in cui la

le frequenze assolute n j

modalità di una variabile viene osservata nel collettivo di numerosità n, per cui:

in cui k indica il numero delle modalità tra loro diverse.

La distribuzione delle frequenze assolute associa alle modalità che può assumere una variabile X le

corrispondenti frequenze assolute.

sono date dal rapporto tra la frequenza assoluta e la numerosità n del

Le frequenze relative f j

collettivo, per cui:

se si moltiplicano le frequenze relative per 100 si ottengono le percentuali.

La distribuzione delle frequenze relative associa alle modalità che può assumere una variabile X le

corrispondenti frequenze relative.

di una modalità sono date dalla somma della frequenza con quella delle

Le frequenze cumulate

modalità precedenti; hanno senso se le modalità della variabile sono ordinabili.

Le frequenze assolute cumulate N sono date da:

j

Le frequenze relative cumulate F , invece, sono date da:

j

Ecco di seguito una tabella con le distribuzioni di frequenza:

Si parla di serie storica quando una variabile viene osservata in istanti di tempo successivi. Ecco di

seguito un esempio di popolazione femminile e maschile italiana dal 2010 al 2023:

Si parla, invece, si serie settoriale quando una variabile viene osservata in luoghi geografici differenti.

Ecco di seguito un esempio di popolazione residente nelle province lombarde:

3. Le medie

(fanno parte della distribuzione univariata) permettono di sintetizzare attraverso un solo

Le medie

valore le modalità di distribuzione di dati, e forniscono informazioni sull’ordine di grandezza di una

variabile. Ne esistono di diversi tipi: media aritmetica, media geometrica, mediana, moda e percentili.

Le prime 2 fanno parte delle medie analitiche (vengono calcolate solo per le variabili quantitative

che richiedono operazioni algebriche sulle modalità), mentre le restanti delle medie di posizione

(vengono calcolate sia per variabili qualitative che quantitative, e non richiedono operazioni

algebriche sulle modalità).

La media aritmetica di un insieme di n valori x , x , …, x di una variabile quantitativa X è data da:

1 2 n

se la variabile X è rappresentata tramite una distribuzione di frequenza diventa:

viene espressa nella stessa unità di misura della variabile. Ecco di seguito un esempio:

Nel caso di una distribuzione di frequenze per una variabile X con modalità in classi, si può

approssimare la media utilizzando come modalità il valore centrale della classe c (dato dalla

j

semisomma tra l’estremo inferiore e quello superiore):

La media aritmetica ponderata di un insieme k di valori osservati x di una variabile quantitativa X

j

con pesi non negativi p è data da:

j

La media aritmetica, perciò, sintetizza la distribuzione di una variabile con un solo valore. Gode di

diverse proprietà: proprietà di Cauchy ( solo se tutte le unità statistiche presentano

la stessa modalità), la somma dei valori osservati è uguale al valore medio moltiplicato per il numero

di unità ( ), la somma delle differenze tra i valori e la loro media aritmetica è pari a

0 ( ), la somma degli scarti al quadrato dei valori da una costante c è minima

quando c è uguale alla media aritmetica ( ).

La media aritmetica gode della proprietà associativa: un collettivo viene suddiviso in L sottoinsiemi

distinti, e la media complessiva è pari alla media ponderata delle medie dei sottoinsiemi, con pesi

pari alla numerosità di ogni sottoinsieme n :

l

Gode anche della proprietà di linearità, in quanto è un operatore lineare: M (a + B x) = a + b M (x).

La media geometrica di un insieme di n valori positivi x , x , …, x di una variabile quantitativa X è

1 2 n

data da:

se la variabile X è rappresentata con una distribuzione di frequenza:

Gode di alcune proprietà: proprietà di Cauchy ( ), il prodotto dei valori osservati è

uguale al valore medio elevato il numero di unità ( ), il logaritmo della media

geometrica è uguale alla media aritmetica dei logaritmi dei valori assoluti (

La media geometrica è sempre inferiore o uguale alla media aritmetica:

La moda può essere calcolata per qualsiasi tipo di variabile; per variabili qualitative e quantitative

con modalità non in classi, la moda è la modalità prevalente, cioè la modalità a cui corrisponde la

frequenza più elevata; per variabili qualitative con modalità in classi, la moda è la classe a cui

corrisponde la densità di frequenza più elevata. Fornisce informazioni solo sulla modalità della

variabile prevalente, dipende solo dalle frequenze, non esiste se tutte le modalità hanno la stessa

frequenza.

La mediana è la modalità presentata dall’unità centrale in un collettivo ordinato di valori; divide il

collettivo in 2 sottoinsiemi di uguale numerosità, considera solo le unità centrali, rende minima la

somma degli scarti considerati in valore assoluto:

Infine, i percentili sono quei valori che dividono la distribuzione in cento parti di uguale numerosità;

sono, quindi, 99. Quelli di uso più frequente sono il 25-esimo, il 50-esimo e il 75-esimo percentile,

detti anche primo (Q ), secondo (Q ) e terzo quartile (Q ), che dividono la distribuzione in 4 parti di

1 2 3

uguale numerosità.

4. Variabilità e forma

La variabilità e la forma (asimmetria) fanno parte della statistica univariata.

di una distribuzione, definita solo per variabili quantitative, esprime la tendenza delle

La variabilità

unità di un collettivo ad assumere modalit&ag