Riassunto esame Probabilità e statistica per l'ingegneria, Prof. De Gregorio Alessandro, libro consigliato Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, S. M. Ross

1

1. Introduzione alla statistica 2

1. Introduzione alla statistica

• • …

• …

• • …

• …

= 1, 2, … ,

, , … ,

1 2

, , … , ≤

1 2 1

2. Statistica descrittiva

1 1

… …

TOT

=

1 1 1

… …

…

1

TOT

= × 100

1 1 1

… … …

…

1 100

TOT = 46 2

2. Statistica descrittiva

3

3 = 0,20

46

24

24 = 0,52

46

13

13 = 0,28

46

46 1

Grafico a barre f_i

Grafico a barre n_i 0,6

30 0,4

20 0,2

10 0

0 elettronici meccanici manuali

elettronici meccanici manuali f_i

n_1 Guasti

Elettronici Meccanici Manuali

= 42 3

2. Statistica descrittiva

4

4 9,52%

= 0.0952

42

1 0.0238 2,38%

3 0.0714 7.14%

5 0.1190 11.9%

8 0.1905 19.05%

10 0.2381 29.81%

5 0.1190 11.90%

2 0.0476 4.76%

3 0.0714 7.14%

1 0.0238 2.38%

42 1 100%

TOT. frequenza assoluta

12

10

8

6

4

2

0 27 28 29 30 31 32 34 36 37 40

frequenza assoluta

=

∑

=1

=

∑

=1

=

∑

=1 4

2. Statistica descrittiva

= 20 = " "

= " ′"

={ = scuola superiore

= ""

, … ,

1

= , , … ,

1 2 20

=

40| − 50 5

2. Statistica descrittiva

[40, 50) = 40 | − 50

(40, 50] = 40 − | 50

( )

⋅ =

() (à )

=

5

= = 0,3

1 10

5

= = 0,625

2 8

5

= = 0,42

3 12

71

4 = = 0,28

25 6

2. Statistica descrittiva

• •

•

• •

•

•

•

7

2. Statistica descrittiva

• = 8

•

•

•

50| − 58 54

, , … ,

1 2

•

• 000 … 00 … 000

+1

2

2

+1

2 , , … ,

1 2

, , … ,

(1) (2) ()

→ +1

( )

2

+

( ) ( +1)

2 2

→ 2 8

2. Statistica descrittiva

= 20

=5 = 4, = 3, = 4, = 1, = 7

1 2 3 4 5

= 1, = 3, = 4, = 4, = 7

(1) (2) (3) (4) (5)

+1 =3

2 = 4

(3)

, , … ,

1 2 =1

∑ + + ⋯ +

1 2 2 2

̅ = ̅ = =

1

=

1 1 1

2 2 2

… … …

=

̅ = + ⋯ + =

∑

1 1

=1

9

2. Statistica descrittiva

= 20

00000111112223334444

= 10 + 1 = 11

2 2

+ 1 + 2

(10) (11) = = 1,5

2 2

1 (0

̅ = × 5 + 1 × 5 + 2 × 3 + 3 × 3 + 4 × 4)

2

0≤≤0 (100

% − )%

= 50 =

2 10

2. Statistica descrittiva

= 25 =

1

= 75 =

3

= 100 ⌊⌋

+ 1

⌊⌋

+

() (+1)

2 −

3 1

−

1 11

2. Statistica descrittiva

° ° , , … ,

1 2

1

2 2

∑( )

= − ̅

−1 =1

1−

2 2

2 2 2

∑( )

− ̅ = − 2 ̅ + ̅ = − 2̅ + ̅

∑( ) ∑ ∑

=1 =1 =1 =1

∑

=1

̅ =

2 2

2 2 2 2

∑( )

− ̅ = − 2̅ + ̅ = − ̅

∑ ∑

=1 =1 =1

1 2

2 2

= (∑ − ̅ )

−1 =1

2 2

=

∑ ∑

=1 =1 −1 + 0 + 1

= −1 = 0 = 1 ̅ = =0 = 0

1 2 3

3 12

2. Statistica descrittiva

= −100 = 0 = 100 ̅ = 0 = 0

1 2 3

1

2 2 2

(1 )

= + 1 = 1

2

1

2 2 2

(100 )

= + 100 = 10000

2 √ 2

=

= + , ∈ ℝ

= +

̅ = ̅ +

2 2 2

=

1 1 1

2 2 2 2

∑( ∑( ∑( )

= − ̅) = + − ̅ − ) = − ̅

−1 +1 −1

=1 =1 =1

2 2

= √ 2 ||

= =

13

2. Statistica descrittiva

Serie 1 Serie 2

6 4

5 3

4

3 2

2 1

1

0 0

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Serie 1 Serie 2

2

̅ = = 1.8

∑

=1

1

2 2

(108 )

= − 20 ⋅ 1.8 = 2,27

19

108 2

+

(10) (11)

= = 1,5

2

1 1

= 0,5 ⋅ =5 ⋅ +1=6

1 4 4

3 3

= 3 ⋅ = 15 ⋅ + 1 = 16

3 4 4 14

2. Statistica descrittiva

, , … ,

1 2 80

Serie 1

20

1 12 18 1

̅ = + + 2 + ⋯ + 8 = 3,075

(0 ) 15

80 80 80 80 10

5

= 3 0

= 0 =8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

(1) () =8 Serie 1

+ 1

(20) (21)

= =2 80 ⋅ = 20

1 2 4

+ 3

(60) (61)

= =4 80 ⋅ = 60

3 2 4

80 80

1 1

2 2

2 2 2

(3.075)

= (∑ − ̅ ) = (∑ − 80 ⋅ )

79 70

=1 =1

1 2

(204 (3.075) )

= − 80 ⋅

70 15

2. Statistica descrittiva

80

1 2

√ 2 2

√ (3.075)

= = (∑ − 80 ⋅ )

70 =1

( )

, = 1,2,3, … ,

16

2. Statistica descrittiva Valori Y

7

6

5

4

3

2

1

0

0 2 4 6

(̅ (3,3

, ̅) = , 3,9)

1 ∑( )(

= − ̅ − ̅)

−1 =1

− ̅ > 0

− ̅ > 0

( )(

− ̅ − ̅) > 0

( )

− ̅ < 0

( − ̅) < 0

( )(

− ̅ − ̅) > 0

17

2. Statistica descrittiva

∑( )(

= − ̅ − ̅) > 0

=1

> 0

( )(

− ̅ − ̅) < 0

∑( )(

= − ̅ − ̅) < 0

=1

1

= (∑ − ̅ ̅)

−1 =1

=

=1

∑ ( )(

− ̅ − ̅)

=

=1 2 2

√∑ ( ) (

− ̅ − ̅)

−1 ≤ ≤ 1

≤ 1

| |

, >0 <0

= + , ∀ = 1 = −1)

(

18

2. Statistica descrittiva (

= 1 − 1)

∈ ℝ, > 0 ( < 0)

= + , ∀ = 1 = −1)

(

( )

,

1

( )

+ , +

• = ±1

• > 0 < 0

±1

= 0

≈ 0

≈ 0

19

2. Statistica descrittiva

(3,3

= − 10 ⋅ × 3,9)) = −9.85

(121

1

2 2

(125 (3,3) )

= − 10 × = 1,78

9

1

2 2

(167 (3.9) )

= − 10 × = 1.65

9 = ≈ 1,33

√1,78

= √1,65 ≈ 1,28

= = −0,49

20

2. Statistica descrittiva

1

2

1 1

6 2

•

• Ω

{1,

Ω = 2, 3, 4, 5, 6}

{,

Ω = , , }

{1,

Ω = 2, … , 50} 1

3. Probabilità

{1,

Ω = 2, … , }

[0,

Ω = ) >0

{(,

Ω = ): 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 1}

Ω , , … {}

{, }

= , , , ,

{2,4,6}

= = {1,

= = 3, 5} {1,2}

= = {, }

= , ,

{,

= = }

{,

= = , } = [, ∞) [1,2]

= =

[2,

= = +∞)

{(, }

):

= ≤ ≤ , ≤ ≤

1

= =

20

{(, |

) ∈ Ω: − | < 10} ∈

Ω {

= ∈ Ω: ∉ }

Ω = ∅ 2

3. Probabilità

{

∈ ∪ = ∈ Ω: ∈ ∈ }

∪ {, }

= , ,

{,

= = } {}

= =

{,

∪ = = , }

, , … ,

1 2

{ {1, }

∪ ∪ … ∪ = ∈ Ω: ∃ ∈ 2, … , } . . ∈ =

⋃

1 2

=1

∞ { }

= ∈ Ω: ∃ ∈ ℕ . . ∈

⋃

=1

{

∩ = ∈ Ω: ∈ ∈ }

∩ {,

Ω = , , }

{,

= , }

{,

= , }

{,

∩ = }

, , … ,

1 2

{1,

∩ ∩ … ∩ = ∈ Ω: ∈ ∀ ∈ 2, … , }} =

{ ⋂

1 2

=1

∞ {

= ∈ Ω: ∈ ∀ ∈ ℕ}

⋂

=1 3

3. Probabilità

⊂ (

⊂Ω ∅ ⊂ )

∩∅=∅

\

∩

( ∪ ) = ∩ }

( ∩ ) = ∪

∞ ∞

( ) =

⋃ ⋂

=1 =1

∞ ∞

( ) =

⋂ ⋃

=1 =1

( ) ( )

∩ = ∪ ∪ = ∩

∩ =∅ , , … ,

1 2

∩ = ∅ ∀ ≠ 0

4

3. Probabilità

, , … ,

1 2

=∞

= Ω

⋃

=1

, , … ,

1 2

Ω

∪ =∪

∩ =∩

( (

∪ ) ∪ = ∪ ∪ )

( (

∩ ) ∩ = ∩ ∩ )

( ( (

∪ ∩ ) = ∪ ) ∩ ∪ )

( ( (

∩ ∪ ) = ∩ ) ∪ ∩ ) , = 1, 2, … ,

(∪ ) ( )

∩ =∪ ∪

,

1 2

⊂ Ω, B ⊂ Ω

( )

= ∩ Ω = ∩ ∪

( ( )

= ∩ ) ∪ ∩ 5

3. Probabilità

∈ , = 1, 2, … , Ω

⊂Ω

= ∩ Ω = ∩ (⋃ ) = ∩ )

⋃(

{ } {, }

, = Ω

1 2

⊂ Ω, ⊂ Ω

( )

∪ = ∪ ∩

( ) ( ( )

∪ ∩ = ∪ ) ∩ ∪ = ∪ ∩ Ω

=∪

{,

Ω = , , , , , , } 3

2

{,

= = , , , , , } = ∪ ∪

1 2 3

=

{}

∩ ∩ = ⊂ ∪ ∪

1 2 3 1 2 3

1

{} = = = ∩ ∩ =

2 3

{, }

∪ = Ω ∩ = ∅

{,

= = , } ⊂

∩ = 6

3. Probabilità

() ∈ ℝ ⊂Ω

1

() = 2 60%, 0.6

ℎ

() = lim = lim

→+∞ →∞

≫1 () ≈ 7

3. Probabilità

1

(6) ≈ ≫ 1

6

() ≥ 0 ⊂ Ω () ≤ 1 0 ≤ () ≤ 1

(Ω) = 1, =

Ω

, ⊂ Ω, ∩ = ∅ +

∪

( ∪ ) = lim = lim = () + ()

→∞ →∞

Ω

() ≥ 0, ∀ ⊂ Ω

(Ω) = 1

{ : ≥ 1} ∩ = ∅ ≠ )

(

∞ ∞ )

(⋃ ) = (

∑

=1

=1

Ω ⊃ ↦ () ≥ 0 8

3. Probabilità

(∅) = 0 , … ,

1

)

(⋃ ) = (

∑

=1

=1

Ω = Ω ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅…

Ω

Ω ∩ &em