Riassunto esame Statistica e calcolo delle probabilità, prof. De Gregorio

Statistica

Statistica - si occupa di trarre conclusioni da dati sperimentali.

Popolazione - insieme molto grande di oggetti a cui sono associati delle quantità misurabili.

Si analizza un sottoinsieme ridotto di oggetti - campione - e si traggono conclusioni valide per la popolazione nel suo insieme.

Si ipotizza una distribuzione di probabilità della popolazione.

Campione - vettore (X₁, X₂, ..., X_n) di variabili aleatorie indipendenti tutte con la stessa distribuzione F.

Nella pratica la distribuzione F non è mai nota completamente, ma posso usare dati per fare dell'inferenza statistica.

F è nota a meno di un insieme di parametri, incogniti -> inferenza parametrica.

Statistica -> variabile aleatoria funzione dei dati di un campione.

f(X₁, X₂, ..., X_n)

Media campionaria

È definita come.

X̄ = (X₁ + X₂ + ... + X_n) / n

È funzione delle variabili aleatorie X₁, X₂, ..., X_n, è perciò una statistica, ed è a sua volta una variabile aleatoria.

E[X̄] = E[X₁ + X₂ + ... + X_n] / n = (E[X₁] + E[X₂] + ... + E[X_n]) / n = nμ / n = μ

Var(X̄) = Var(X₁ + X₂ + ... + X_n) / n² = (Var(X₁) + Var(X₂) + ... + Var(X_n)) / n² = σ² / n² = σ² / n

X̄ è centrata attorno a μ e la sua variabilità si riduce all'aumentare di n.

Statistica

Statistica → si occupa di trarre conclusioni da dati sperimentali.

Popolazione = insieme molto grande di oggetti a cui sono associati delle quantità misurabili.

Si analizza un sottoinsieme ridotto di oggetti = campione, e si traggono conclusioni valide per la popolazione nel suo insieme.

Supponiamo una distribuzione di probabilità della popolazione.

Campione = vettore (X₁, X₂, ..., X_n) di variabili aleatorie indipendenti tutte con la stessa distribuzione F.

Nella pratica la distribuzione F non è mai nota completamente, ma posso usare dati per fare dell'inferenza statistica.

Dati sono un sottoinsieme di questi osservabili.

F è nota a meno di un insieme di parametri incogniti → inferenza parametrica.

Statistica → variabile aleatoria funzione dei dati di un campione.

f(X₁, X₂, ..., X_n)

Media campionaria

È definita come.

X̄ = (X₁ + X₂ + ... + X_n) / n

È funzione delle variabili aleatorie X₁, X₂, ..., X_n, è perciò una statistica, ed è a sua volta una variabile aleatoria.

E[X̄] = E[X₁ + X₂ + ... + X_n] / n = (E[X₁] + E[X₂] + ... + E[X_n]) / n = μ →

Var(X̄) = Var(X₁ + X₂ + ... + X_n) / n² = (Var(X₁) + Var(X₂) + ... + Var(X_n)) / n² = λ² / n = δ² / n

X̄ è centrata attorno a μ e la sua variabilità si riduce all'aumentare di n.

Teorema del limite centrale

Siano X₁, X₂, ..., X_n delle variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite con media μ e varianza δ². Allora se n è grande la somma:

X₁ + X₂ + ... + X_n

è approssimativamente normale con media nμ e varianza nδ².

Si può normalizzare il risultato per ottenere approssimativamente una normale standard.

(X₁ + X₂ + ... + X_n - nμ) / (δ√n) d≈ (0,1)

Per n grande e x qualsiasi tale P((X₁ + X₂ + ... + X_n - nμ) / (δ√n)