Riassunto esame Matematica, Prof. Palatucci Giampiero, libro consigliato Matematica e statistica , Marco Abate

Logaritmi

Log_ab = x con a, b > 0
a^x = b
Log_a1 = 0 poiché a⁰ = 1
Log_aa = 1 poiché a¹ = a
Log_aaⁿ = n poiché aⁿ = aⁿ
Log_a(b x c) = log_ab + log_ac
Log_a(b/c) = log_ab - log_ac
Log_a(a x b) = log_aa + log_ab = 1 + log_ab
poiché log_aa = 1
Log_a(a/b) = log_aa - log_ab = 1 - log_ab
poiché log_aa = 1
Log_abⁿ = n log_ab
Log_bx x log_a x = log_c x / log_c a

Simbolologia insiemi

- Precisione come contenuto (se e solo se hanno gli stessi elementi)
- Appartiene
- Non appartiene
- Insieme vuoto
- Intersezione A B
- Insieme differenza A/B = A-B
- Divisione simmetrica A Δ B
- Inclusione/uguale
- Unione U
- Negazione
- Disgiunti
- Incontrano
- Nel momento
- Sottoinsieme proprio

Numeri e funzioni

• 10 Numeri naturali
• Numeri interi
• Numeri naturali 0,1,2,...
• Numeri relativi (interi) {...,-2,-1,0,1,2,...}
• Numeri razionali (...,-3/2,2/3,...)

Funzioni (applicazioni, trasposizioni e mappe)

f^-1 insieme detto dominio della funzione
Y codominio detta funzione
Una funzione è definita da una relazione che associa ad ogni elemento di x uno (e uno solo) di y
x→y
x→y=f(x)
Imf→insieme immagini (tutte le y)
es: f: ℝ→ℝ
ℝ→tutte(le)reali
Imf ⊂ ℝ
Funzione suriettiva
f: ℝ→ℝ
es: g: ℝ→ℝ
g: x→0 o (x→-x)
Im g = y
non sono la stessa funzione
È suriettiva?
f:ℕ→ℕ
No perché: x=-1 (1,1/4,...,{ a, b, c })
Lo sarebbe se f: ℕ→ℙ (numeri naturali Pieni)

Logaritmi

ln (a b)=lnA+lnB
ln (a/b)=lnA-lnB
è importante: sono la stessa funzione?
x₀-1=o; x=lnx
x₀-1⇔x lnx; (x-1)(ln x)+... (x-1) y=x^x
x=x
< х < к - 1 < к Дх < 1
g e definito Vk Є R f.t.x+1 >0 : x>-1
x+3 > 0 : x>-3
non sono la stessa funzione perché i D sono diversi

Dominio

• Frazioni intere R\Radicciali intere R
• Funzione parate(n)e esponenziale semplice R
• Logaritmiche y=im f(x)

Funzioni

• Trigonometrichesenx R
• cosx R
• tgx R / T/2k + U
• cotg R / T + U

Д x² - a²=1 & x² = 1
Funzione Iniettiva
[ д solo Im paratela asser ]
Se Є A, x1 x2 &Є R, si ha g(Lx) = g(Lx2) ->x1=x2, valido smato che х1 стх2 |-; fx1 = d(Lx1)x - x = ^f y =^g z
f: x→ y è iniettiva
Funzione Biiettiva
Funzione Composta
g∘f: x → z
x → f(x) → y
g: x {1} x {2} x {3} {4}
f: x {se} y
ex. f: {1,2} / {3,4}
a↦b
b↦a
Vali di può fare f^-1 g^-1 g∘f
f: x → y ⟹(x,y)≤z
g:~(x,y)→z
g∘f ⟹ (f(g)) ≤ x
Se l'id de g∘f è id Le l'inversa di f^-1 o è inversa

Valore assoluto

R→R⁺∪{0}
x → ⎪x⎪
x: {₀} x x≥0
x - x ∈ R

Funzioni monotone

f: ⊆ R→R - R
se:∀x₀ 1 → x₀)₀ ⟹ f(x₀) ⟹ f(x₁)(sotto) ∀x₀ ⟹ f(x₀) (sotto)⊭ ⊭ strettamente⊭ strettamente

Esempio
x = ⎪f(x)²funz non Kdisegna:Interv. Non è strettamente crescente
Soluzione de equazioni di f-gVerse da x → 0
derivare da g→0
non è monotona

Funzioni pari e dispari

Se f: D → R = R (simmetria asse y)
f è pari sse ∫ x ∈ D : f(-x) = f(x)
Simmetria rispetto O
f: D → R = R
f è dispari sse∫ x ∈ D : f(-x) = -f(x)