Riassunto esame Matematica finanziaria, Prof. Bonomelli Marco, libro consigliato Appunti di Matematica finanziaria, Giacometti

MATEMATICA FINANZIARIA

1. Nozioni elementari studia le leggi che regolano le operazioni di scambio di moneta contro

La Matematica Finanziaria

moneta nel tempo, considerate in condizioni di certezza; gli elementi fondamentali, sono, quindi, 3:

gli importi di denaro, gli istanti di tempo (a cui gli importi si riferiscono) e la condizione di certezza

del pagamento dei flussi finanziari.

Alla base di ogni atto in grado di produrre una variazione ci capitale, vi sono le situazioni finanziarie

elementari (SFE), le quali sono una coppia ordinata di valori (t, K), il primo dei quali rappresenta

l’istante di tempo, e il secondo l’importo monetario ad esso relativo. Per poterle rappresentare

esistono due modi: piano cartesiano o asse dei tempi.

Due SFE si definiscono equivalenti inter-temporalmente quando si ritiene equo il loro scambio;

queste godono di alcune proprietà: p. riflessiva (ogni SFE è indifferente a sé stessa), p. simmetrica

(se (t0, C) è indifferente a (t1, M), allora anche (t1, M) è indifferente a (t0, C)) e p. transitiva (se (t0,

C) è indifferente a (t1, M), e (t1, M) è indifferente a (t2, Q) allora anche (t0, C) è indifferente a (t2,

Q)).

Un’operazione finanziaria (OF) è un accordo che dà origine allo scambio equo tra due o più SFE

riferite ad epoche diverse; possono essere: OF semplici (riguardano solo 2 SFE) e OF complesse

(riguardano più di 2 SFE). Oltre a ciò, è possibile suddividerle in: OF di capitalizzazione e OF di

attualizzazione.

La capitalizzazione è un’operazione nella quale un soggetto economico si priva di una disponibilità

di capitale oggi nella prospettiva di averne una superiore o uguale in futuro; ci sono diverse

definizioni: C (1+ i)

MONTANTE (C + I)

CAPITALE (M – I) M (1 – d)

I = M – C

INTERESSE

TASSO DI INTERESSE

FATTORE DI MONTANTE

L’attualizzazione è, invece, l’operazione nella quale un soggetto economico, pur di entrare

anticipatamente in possesso di una somma disponibile ad una scadenza futura, rinuncia ad una

parte di essa; ci sono diverse definizioni: K (1- d)

VALORE ATTUALE (K – D) V + D

CAPITALE

SCONTO K – V

TASSO DI SCONTO

FATTORE DI SCONTO O DI ATTUALIZZAZIONE

Si nota che il fattore di attualizzazione v è il reciproco del fattore di montante u; perciò, si possono

ricavare le 2 formule:

Si definisce legge finanziaria di capitalizzazione (LFC) una funzione del tipo M = f (C, t0, t1) che,

dato un capitale C riferito ad un istante di tempo iniziale t0, consente di determinare univocamente

il montante equivalente disponibile ad una qualunque epoca successiva t1. È necessario che la

funzione goda di alcune proprietà: f(C,t0,t1) sia definita t0,t1 [0,T), f(0, t0,t1) = 0 t0,t1

∀ ∈ ∀ ∈[0,T),

f(C, t0,t0) = t0 dati C2 > C1 ≥0 → f(C2,t0,t1) > f(C1,t0,t1), dati t2 > t1 → f(C, t0 ,t2)

∀C∈R+ ∀ ∈[0,T),

≥ f(C ,t0,t1), f(C2 + C1 , t0,t1) = f(C2,t0,t1) + f(C1,t0,t1) e f(C, t0,t1) = C f(1, t0,t1). Con riferimento

⋅

a quest’ultima proprietà e ipotizzando t0 = 0 e t1-t0 = t, s ottiene che: M = C f(1, t0,t1) = C m(t1-t0)

= Cm(t), in cui m(t) è il fattore di montante. Per essere considerato fattore di montante, deve avere

3 proprietà: m(t) sia definita [0,T), m(0) = f(1,0,0) = 1 e dati t2 > t1 → m(t2) ≥ m(t1), se è

∀t ∈

derivabile, allora a m’(t) ≥ 0 [0,T) (non decrescente in t).

∀t ∈

Analogamente, la legge finanziaria di attualizzazione è caratterizzata dal fattore di attualizzazione

(o di sconto): v(t) = 1 / m(t); da ciò si può ricavare che: C = M * v(t).

Se la legge finanziaria di capitalizzazione M(t) è una funzione derivabile rispetto al tempo, allora

esiste il limite per ∆t 0 dell’intensità di interesse; da ciò si ricava l’intensità istantanea di interesse:

→

applicando lo stesso procedimento si ottiene che l’intensità istantanea di sconto è la stessa.

2. Regimi finanziari

Qualunque funzione possegga le 3 proprietà è un fattore di montante o di sconto; nella pratica è

frequente distinguere 3 famiglie di funzioni, o regimi finanziari: r. f. di interesse semplice (f. lineare),

r. f. di interesse anticipato (f. iperbolica) e r. f. di interesse composto (f. esponenziale).

Per quanto riguarda , è caratterizzato dal fatto che gli interessi

il regime di capitalizzazione semplice

maturati nel corso dell’operazione sono direttamente proporzionali a 3 fattori: il capitale inizialmente

impiegato (C), la durata dell’investimento (t) e il tasso unitario di interesse applicato (i).

FATTORE DI MONTANTE

MONTANTE (M(t)) C + C*i*t = C (1 + i*t)

C*i*t

INTERESSE (I(t))

INTENSITA’ ISTANTANEA

Quando il montante finale di un investimento viene interrotto ad un istante intermedio, si reinveste

poi per la durata residua il capitale e gli interessi fino ad allora maturati; il montante per l’intera durata

t dell’operazione è pari a: M (t) = C (1 + i*t); analogamente, il montante calcolato ad un qualsiasi

istante intermedio t1 sarà uguale a: M (t1) = C (1 + it1).

Nella pratica accade spesso che il tasso di interesse, anziché restare invariato per tutta la durata

dell’operazione, cambi più volte; si parla in questo caso di capitalizzazione a tassi variabili; le formule

per il primo periodo rimangono uguali, mentre variano quelle relative al secondo:

I2 = C*i2 (t2 – t1)

INTERESSE NEL 2° PERIODO

MONTANTE DI N PERIODI M (tn) = C [1 + i1*t1 + i2 (t2 – t1) + … + in (tn – tn-

1)]

è il regime di attualizzazione coniugato al regime dell’interesse semplice:

Lo sconto razionale

FATTORE DI SCONTO

VALORE ATTUALE

SCONTO

TASSO DI SCONTO

Il secondo è , che si caratterizza per il fatto che lo sconto risulta

il regime di sconto commerciale

direttamente proporzionale al montante (M), alla durata dell’operazione (t) e al tasso di sconto

applicato (d): FATTORE DI SCONTO V (t) = (1 – dt)

C (t) = M – D = M – M * d * t = M (1 – dt)

VALORE ATTUALE D (t) = M – C (t) = M*d*t

SCONTO

TASSO DI SCONTO

È possibile anche in questo caso che il tasso di sconto applicato nell’operazione varia:

D (t2) = M * d2 (t2 – t1)

SCONTO NEL 2° PERIODO C (tn) = M – M*d1*t1 - … - M*dn*(tn – tn-1)

VALORE ATTUALE DI N PERIODI

(o iperbolico) è il regime di capitalizzazione coniugato allo sconto

Il regime ad interesse anticipato

commerciale:

FATTORE DI MONTANTE

MONTANTE I (t) = M – C = M – (M – Mdt) = Mdt

INTERESSE

CAPITALE C = M – M*ia

ia = (M – C) : M

TASSO DI INTERESSE

INTENSITA‘ ISTANTANEA DI INTERESSE

È possibile, anche in questo caso, che l’operazione di interrompa e si reinvesta:

OPERAZIONE NON INTERROTTA

OPERAZIONE INTERROTTA

L’ultimo è (o esponenziale), caratterizzato dal fatto che gli

il regime di capitalizzazione composta

interessi maturati al termine di ogni periodo sono a loro volta capitalizzati per il periodo successivo:

t

FATTORE DI MONTANTE m (t) = (1 + i) t

M (t) = Cm (t) = C (1 + i)

MONTANTE t

I (t) = M – C = Cm (t) – C = C [(1 + i) – 1]

INTERESSE

INTENSITA’ ISTANTANEA

In questo caso, l’interruzione e il reinvestimento hanno le seguenti formule:

OPERAZIONE NON INTERROTTA

OPERAZIONE INTERROTTA

Se il tasso di interesse cambia durante l’operazione si parla di capitalizzazione a tassi variabili:

; generalizzando si ottiene: t1 (t2 – t1) (tn – tn-1)

M (t2) = C + I1 + I2 M (tn) = C (1 + i1) * (1 + i2) *…* (1 + in)

è il regime di attualizzazione coniugato al regime di capitalizzazione composta:

Lo sconto composto

FATTORE DI SCONTO

VALORE ATTUALE

SCONTO

TASSO DI SCONTO

Quando la capitalizzazione composta copre un intervallo di tempo t composto da una parte intera n

e da una parte frazionaria f, si parla di capitalizzazione mista; prevede l’utilizzo della capitalizzazione

composta per il calcolo del montante relativo alla parte intera, e della capitalizzazione semplice per

calcolare il montante relativo alla parte frazionaria: .

n

M(t) = C (1 + i) (1+ i*f)

3. Traslabilità e scindibilità

Il fattore di montante può godere di alcune proprietà: .

la traslabilità e la scindibilità

Una legge finanziaria si definisce traslabile se il fattore di montante ad essa associato è tale che

dipende unicamente dalla durata dell’operazione (t0, t1) e dall’istante di inizio (e di fine); in simboli

è traslabile se:

Ogni legge finanziaria traslabile si può scrivere come funzione della sola durata:

Tutti i regimi di capitalizzazione visti sono traslabili.

Una legge finanziaria è scindibile se il ritiro e il reinvestimento del capitale in un’epoca intermedia

non modificano il fattore di montante finale; è scindibile se:

Non è verificata, però, in capitalizzazione semplice.

4. Tassi medi e tassi equivalenti

Si dicono quelli che applicati per lo stesso tempo t ad uno stesso capitale C,

tassi equivalenti

producono lo stesso montante M; si può avere equivalenza tra: una sequenza di tassi ed un tasso

medio, tassi relativi a regimi diversi e tassi con periodicità diverse.

Per tassi equivalenti nello stesso regime, si ottiene che la durata espressa in m-esimi di anno è pari

a: .

tm = m * t

In capitalizzazione semplice, l’equivalenza tra