Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Gianazza Ugo, libro consigliato Analisi matematica 1 , Marco Bramati - Carlo Pagani - Sandro Salsa

NUMERI REALI

|a|_{a se a>0}^{-a se a<0}

[a,b] intervallo chiuso

(a,b) intervallo aperto

NUMERI COMPLESSI

FORMA ALGEBRICA

z = a + ib     dove     a è la parte reale     Re(z)b è la parte immaginaria     Im(z)i è l'unità immaginaria

z̅ = a - ibzz̅ = |z|² = a² + b²|z| = √a² + b²

FORMA ESPONENZIALE

z = ρ e^iθρ = |z| = √a² + b²θ = arctg _Im(z)/^Re(z)

FORMA POLARE

z^m = ρ (cos θ + 2kπ/m + i sin θ + 2kπ/m)

cosθ = _a/^{√a2 + b2}sinθ = _b/^{√a2 + b2}

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA

Un' equazione polinomiale del tipo     a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_mx^m con coefficienti complessi qualsiasi     ammette m radici in ℂ.

NUMERI REALI

|a| { a se a 0

-a se a 0

[a,b] intervallo chiuso

(a,b) intervallo aperto

NUMERI COMPLESSI

FORMA ALGEBRICA

z = a + ib dove a é la parte reale Re(z) b é la parte immaginaria Im(z) i é l'unità immaginaria

z̅ = a - ib

2z = |z|² = a² + b²

|z| = √(a² + b²)

FORMA ESPONENZIALE

z = ρ e^iθ ρ = |z| = √(a² + b²)

θ = arctg (_Im(z)/^Re(z))

FORMA POLARE

z^m = ρ ( cos (_{θ + 2kπ}/^m) + i sin (_{θ + 2kπ}/^m) )

cosθ = _a/^{√(a² + b²)} sinθ = _b/^{√(a² + b²)}

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA

Un'equazione polinomiale del tipo a₀ + a₁z + a₂z² + ... + a_mz^m con coefficienti complessi qualsiasi ammette m radici in C.

FUNZIONI

DEFINIZIONE

Dati due insiemi A e B, una funzione f è una qualsiasi legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Le funzioni f: ℕ→ℝ si dicono successioniLe funzioni f: ℝ→ℝ si dicono funzioni reali di variabile reale.

DEFINIZIONE

Si dice c.f., Xm è punto di minimo per f, e m = f(Xm) è il minimo di f.Si dice c.f., XΜ è punto di massimo per f, e M = f(XΜ) è il massimo di f.

FUNZIONI LIMITATE

• Limitate superiormente → f(x) ≤ H dove H è il punto di massimo
• Limitate inferiormente → f(x) ≥ m dove m è il punto di minimo
• Limitate (sono sia superiormente che inferiormente limitate)

FUNZIONI SIMMETRICHE

• Pari → simmetriche rispetto all'asse y → f(x) = f(-x)
• Dispari → simmetriche rispetto all'origine → -f(x) = f(-x)

FUNZIONI MONOTONE

• Monotone crescenti → f(x₁) ≤ f(x)
• Monotone decrescenti → f(x₂) ≥ f(x)
• Monotone strettamente crescenti → f(x₄) > f(x)
• Monotone strettamente decrescenti → f(x₃) < f(x)

FUNZIONI PERIODICHE

La funzione f: ℝ→ ℝ è periodica di periodo T>0 se T è il più piccolo numero positivo tale che:

f(x + T) = f(x)

Funzioni Trigonometriche

sin²x + cos²x = 1

tgx = ^sinx⁄_cosx

cotgx = ^cosx⁄_sinx = ¹⁄_tgx

Funzioni Composte

(g ∘ f) (x) = g [f(x)]

In generale vale che (f ∘ g) ≠ (g ∘ f)

Funzioni Invertibili

Non sono invertibili: le funzioni simmetriche pari e le funzioni periodiche

Teorema

Una funzione f: D → ℝ strettamente monotona in D è invertibile in D.

Inoltre la sua inversa è ancora strettamente monotona.

Corollario

Una funzione invertibile su un intervallo e continua, ha l'inversa continua.

SUCCESSIONI

Le successioni il cui limite è un numero finito, si dicono convergenti.

Le successioni il cui limite è ± ∞, si dicono divergenti.

Le successioni il cui limite non esiste, si dicono indeterminate.

PROPOSIZIONE

Ogni insieme E⊆R non vuoto è dotato di estremo superiore e inferiore; il sup (inf E) è un numero se E è superiormente limitato (inferiormente limitato). Altrimenti è ±∞ (-∞).

SUCCESSIONI MONOTONE

• Monotone crescenti ↔ a_n+1 ≥ a_n
• Monotone decrescenti ↔ a_n+1 ≤ a_n
• Monotone strettamente crescenti ↔ a_n+1 > a_n
• Monotone strettamente decrescenti ↔ a_n+1 < a_n

COROLLARIO

Ogni successione costante è monotona.

TEOREMA DI MONOTONIA

Se {a_n} è monotona crescente e superiormente limitata, allora {a_n} con