Riassunto esame Fondamenti di algebra lineare e geometria, Prof. Larese Antonia, libro consigliato Algebra lineare e geometria, Francesco Bottacin

TEOREMI

ALGEBRA

LINEARE E

GEOMETRIA

ENUNCIATI

+

DIMOSTRAZIONI

CARNIO MAURIZIO

Ingegneria Dell’Energia

L’intersezione di due sottospazi di uno stesso

spazio vettoriale è un sottospazio.

ENUNCIATO:

Sia spazio vettoriale su e due sottospazi vettoriali di

, :

è SOTTOSPAZIO VETTORIALE di

∩ .

{ }

∩ ∶= ∈ . . ∈ ∈

DIMOSTRAZIONE:

Voglio dimostrare che:

∀ , ∈ ∩ ∀ , ∈ + ∈ ∩

Dato che:

, ∈ ∩ ⇒ , ∈ , ∈

Allora: perché è sottospazio di

+ ∈

perché è sottospazio di

+ ∈

Questo implica che:

+ ∈ ∩

Quindi: è SOTTOSPAZIO VETTORIALE

∩

FORMULA DI GRASSMAN

ENUNCIATO:

Sia spazio vettoriale su finitamente generato.

E siano due sottospazi vettoriali di

, .

Allora:

( ) ( ) ( ) ( )

+ = + − ∩

DIMOSTRAZIONE:

Poniamo: )

≔ ( )

≔ ( )

≔ ( ∩

Bisogna dimostrare che una BASE di ha vettori

+ + −

LINEARMENTE INDIPENEDENTI.

PARTE 1

Se { } { }

∩ ≠ = , … , ∩

Per il teorema di completamento ad una Base:

 Completiamo B a base di { }

∶= , … , , ,…,

 Completiamo B a base di { }

≔ , … , , ,…,

 Consideriamo :

+

ogni vettore si scrive come somma di un vettore di e un vettore di

∈ +

, quindi si può scrivere come combinazione lineare dei vettori:

,…, , ,..., , ,…, ⇒ +

resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti,

* + ⋯+ + + + + ⋯+ =0

Dove ogni ∈

∶= + ⋯ + + + + + ⋯+

Se ∈ ∈

Allora: ∈ ∩

Quindi: ∃ , … , = +

⋯

Ora:

1) + ⋯ + = + ⋯ + + ⋯ + + ⋯+

2) + ⋯ + = − − ⋯−

Dal punto 2:

+ ⋯+ + + ⋯+ =0

è combinazione lineare di vettori di una BASE di

Quindi: sono L.I. e l’uguaglianza è rispettata se e solo se:

,…,

=⋯= = = =0

Analogamente nel punto 1:

+ + + ⋯+ = 0

È combinazione lineare di vettori di una BASE di e come prima

l’uguaglianza è rispettata se e solo se:

= =⋯= = =⋯= =0

Tutti i coefficienti in sono NULLI (=0) e questo implica i seguenti:

∗ sono LINEARMENTE INDIPENDENTI

 ,…, , ,…, , ,

,… sono GENERATORI

 ,…, , ,…, , ,

,… sono una BASE di

 ,…, , ,…, , , +

,…

DUNQUE )

( + = + −

CVD

PARTE 2

Se ) { }

( ∩ = 0 ⇒ ∩ =

 Base di { }

= , … ,

 Base di { }

= , … ,

Consideriamo ⟨ ⟩ { }

+ = ∪ = + ∈ ∈

Quindi ogni vettore si scrive come combinazione lineare di:

∈ +

che a loro volta GENERANO

,…, , ,…, +

Dimostriamo che sono L.I.

+ ⋯+ + + ⋯+ =

∶= + ⋯ + = − − ⋯−

Quindi ∈ ∩

Se voglio rendere vera l’uguaglianza: =

 + ⋯+ = ⇔ = =⋯= =0

 − = − = ⇔ =⋯= =0

Possiamo concludere osservando che:

= =⋯= =0

L’insieme: è BASE di

{ }

, … , , , … , +

Allora: )

( + = +

QED

IL NUCLEO DI UN’APPLICAZIONE LINEARE È

UN SOTTOSPAZIO

ENUNCIATO:

Sia un’applicazione lineare tra due SPAZI VETTORIALI sul campo

: → ,

il nucleo: è SOTTOSPAZIO VETTORIALE DI

() .

DIMOSTRAZIONE:

Siano devo dimostrare che:

, ∈ (),

+ ∈ () ∀ , ∈

) )

( = ( = 0

) ) ) ) )

( + = ( + ( = ( + ( = 0 + 0

QUINDI: + ∈ ().

L’IMMAGINE DI UN’APP