Riassunto esame Algebra e geometria, Prof. Belardo Francesco, libro consigliato Geometria e algebra lineare, V. De Filippis

Revisionato il 14/07/2026

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Riassunto per l'esame di Algebra e geometria, basato sul corso e sullo studio autonomo del libro consigliato da Prof. Belardo Francesco: Geometria e algebra lineare, V. De Filippis. …

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Belardo Francesco

Università Università degli studi di Napoli Federico II

A.A. 2022-2023

88 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Geometria e algebra

Gruppi

(A, ∗) con A insieme + operazione
I) Vale l'associatività
II) ∃ l'elemento neutro
III) ∃ il simmetrico per ogni elemento
IV) Vale la commutazione - gruppo abeliano

Anelli

(A, ∗, ×)
I) (A, ∗, ) è un gruppo abeliano
II) (A, ×, ) è associativo (semi-gruppo)
III) Vale la distributiva

Campi

Ex (R, +, ×)
È un anello in cui (A, ∗, ) è abeliano

Spazio vettori geometrici

(V, +) gruppo abeliano
direzione
verso
|V|

Equipollenza

I) Stessa direzione
II) Stesso verso
III) Stesso modulo

Classi di equivalenza

Sono insiemi di vettori - tra loro, ma si espande a qualsiasi insieme di elementi - aventi caratteristiche univoche.

Somma tra vettori

Paralleli: ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ , mm + ... + vn wn
Non paralleli: ⃗ + ⃗

Prodotto esterno sist. rif.

È un prodotto del tipo:
k ⃗ con k ∈ ℝ ⇒ k ⃗ = (k x) i + (k y) + (k z) = k (x i + y + z)

Modulo

|⃗| = √(x² + y² + z²)

Prodotto scalare

V_x³ V₃ → ℝ ⃗ · ⃗ = |⃗| |⃗| · cos ̂w⃗ · ⃗ = (x · x) + (y · y) + (z · z) Prodotto scalare standard (1, 2, 3) (1 2 3)

Prodotto vettoriale

V_x³ V → V³ ⃗^⃗ = Non è commutativo ||/ x = |||| sin ̂₁ × = ₁ ₂ ₃

Sistema di riferimento cartesiano

(0, , , , ) -> -> -> -> , , versori degli assi
Ogni vettore può essere dato come: = ₁ + ₂ + ₃ ₁, ₂, ₃ sono rispettivamente le componenti: , ,

Somma vettoriale

È una somma del tipo:
+ = (₁+₁) + (₂+₂) + (₃+₃)

Spazio vettoriale

(A,+,∘) [Ex (R è spazio vettoriale) (V è spazio vettoriale)]

(A,+) è un gruppo abeliano
(A,∘) è il prodotto esterno e soddisfa le condizioni di campo.

È un prodotto del tipo: K x V -> V K campo scalari

Combinazioni lineari

Si dice combinazione lineare di un sistema di vettori un'operazione del tipo:
x₁v₁ + x₂v₂+ x₃v₃+...+x_nv_n ∈ V con x_i ∈ K

Lineare dipendenza

S = {v₁, v₂, ..., v_n} si dice LI dipendente se ∃ i. α_i ≠ 0 t.c α₁v₁ + ... + α_nv_n = 0
Se α₁v₁ + ... + α_nv_n = 0 e α_i ≠ 0 → S si dice LI dipendente

Caratterizzazione della lineare dipendenza

Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} sistema di vettori E.V.
S è dipendente ⇔ ∃ v_i ∈ S t.c v_i dipendente da S \ {v_i}

Dimostrazione

⇒ Se S è dipendente → ∃α_i≠ 0 t.c α₁v₁ + ... + α_nv_n = 0
Se α_i ≠ 0 ⟹ α_i^-1α₁ = - α₂v₂ - α₃v₃ - ... - α_nv_n (Moltiplicando per α_i^-1, supponiamo sia v_i il vettore dipendente)
1 . v_i = - α_i^-1α_i
E quindi v_i è combinazione lineare di tutti i vettori di S, tranne lui
⇐ Scelgo v_i = v_i, quindi v_i dipende da S \ {v_i}
v_i = α₁v₁ + ... + α_nv_n = 0 ⇒ v_i + α₂v₂ + ... + α_nv_nα₁ =-1 ≠ 0 quindi S è dipendente

Span

d(S), v_i
È il sottospazio generato da tutte le possibili combinazioni lineari di un sistema di vettori. Se S è un sistema di vettori indipendenti allora essi generano l'intero spazio vettoriale.

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