Riassunto esame Fisica Matematica e trattamento delle osservazioni statistiche, Prof. Ruggeri Tommaso, libro consigliato Introduzione alla termomeccanica dei continui, Tommaso Ruggeri

Fisica matematica

V = λ V vettore

λ = λ V modulo

Convenzione di Einstein: permette di sottrarre la sommatoria lasciandola sottintesa e ci sono gli indici.

Operatori matriciali su vettori

Prodotto scalare

λ = a · b = a b cos Θ

In componenti:

a · b = a_i · b_i = a₁b₁ + a₂b₂ + b₃b₃

Prodotto vettoriale

c = a ∧ b

In componenti:

d_i = ε_ilm a_l b_m

Simbolo di Levi-Civita

ε_ilm =

• 0 se almeno due indici sono uguali
• 1 (rot. permutazione pari)
• -1 (no. rot. permutazione dispari)

c₁ = ε_ilm Q₁l b_m = ε_1lm Q₁1 b_m + ε_12m Q₁2 b_m + ε_13m Q₁3 b_m +...

Si scrivono solo i termini che sopravvivono:

c₁ = ε_1lm Q₁l b_m = ε₁₂₃ Q₂ b₃ + ε₁₃₂ Q₃ b₂

Complemento algebrico

a = (a₁, a₂, a₃)

b = (b₁, b₂, b₃)

|x y z|

|x x x|

xx

C₁ = Q₂ b₃ - Q₃ b₂

C₂ = Q₃ b₁ - Q₁ b₃

Operatore matriciale lineare

Un operatore lineare A trasferirà un generico vettore V in un altro vettore W

W = A · V

In componenti:

W_i = A_ij V_j

Il vettore W dipende da V ed A ma non dalla base {e_i}

Essendo operatore lineare valgono le proprietà:

A(u + v) = Au + Av

A(λu) = λ(Au)

Fisica matematica

V = λ V

W = λ V

Vettore modulo

In componenti:

Operatori matriciali su vettori

Prodotto scalare

a · b = a b cosθ

In componenti: a · b = a1 b1 + a2 b2 + b3 b3

Prodotto vettoriale

In componenti: di = εilm a_l b_m

Simbolo di Levi - Civita

εilm =

• 0 se almeno due indici sono uguali
• +1 (rotazione) permutazione pari
• -1 (no rotazione) permutazione dispari

Si scrivono solo i termini che sopravvivono.

Complemento algebrico

Operatore matriciale lineare

In componenti: W_i = A_ij V_j

A(u + v) = Au + Av

A(λu) = λ(Au)

Operatore identità

È l'operatore lineare che trasforma un qualunque vettore in sé stesso

Simbolo Kronecker

Prodotto di uno scalare per un operatore particolare

Operatore isotropo

Somma di due operatori

Il prodotto fra operatori non gode della proprietà commutativa nel caso in cui verifica si dice che i due operatori commutano tra di loro

Qualunque operatore commuta con l'operatore identità

Operatore trasposto

Si ottiene scambiando le righe con le colonne della matrice associata all'operatore

Traccia di un operatore

È lo scalare ottenuto sommando gli elementi sulla diagonale principale della matrice

Se operatore ha traccia nulla si dice deviatore

Determinante di un operatore

È lo scalare calcolato come combinazione lineare dei determinanti di operatori di ordine

E lo scalare ottenuto da eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna

Proprietà

Teorema di Binet

Operatore singolare

Operatore non singolare

Operatore inverso

È l'operatore che permette di effettuare la trasformazione inversa a quella effettuata da

Si dice che un operatore è invertibile se esiste un operatore tale che

È unico e si chiama inverso di

Invertibile se e solo se

Operatore completamento

A^C è l'operatore le cui componenti sono i complementi algebrici di A

A_ij = (-1)^i+j det A^(ij)

Identità notevoli

(AB)^T = B^TA^T

(AB)^-1 = B^-1A^-1

(AB)^C = A^CB^C

(A^-1)^T = (A^T)^-1

(A^c)^c = detA^m-2A

Prodotto scalare fra operatori

A:B = tr(AB^T)

Proprietà: A:B = B:A (commutativa)

A:(B+C) = A:B + A:C (distributiva)

Due operatori non nulli tali che A:B = 0 si dicono ortogonali fra loro.

Il prodotto scalare serve per definire la norma di Frobenius nello spazio degli operatori matriciali: √A√ = √A:A√

Operatori simmetrici e antisimmetrici

Operatore simmetrico

S = S^T