Riassunto esame Fisica Matematica e trattamento delle osservazioni statistiche, Prof. Ruggeri Tommaso, libro consigliato Introduzione alla termomeccanica dei continui, Tommaso Ruggeri

Equazioni di campo della termoelasticità

^p* _∂Vi/∂t - ∂Tia/∂xA = p^*bi   (1) (Bilancio quantità di moto)

∂Fia/∂t - ∂Vi/∂xA = 0   (2) (Compatibilità)

∂/∂t (ψ + v²/2) + _{(TiaVi - QA)} ∂xA = p*biVi + r   (3) (Bilancio energia)

Legge di evoluzione per l'energia interna

Moltiplico la (1) scalarmente per Vi:

∪ p* Vi ∂Vi/∂t - Vi ∂Tia/∂xA = p* biVi → p* Vi ∂Vi/∂t (v²/2) + Vi ∂Tia/∂xA = p* biVi

Sottraggo tale equazione alla (3):

∪ p* Tia ∂Vi/∂xA - ∂QA/∂xA = - (∴)

Legge di evoluzione per l'energia interna

Sapendo che e = e (F, θ;) allora si ha: ∪ ∂e/∂t = ∂e/∂Fia ∂Fia/∂t + ∂e/∂θ ∂θ/∂t

Sostituisco e ricavo dθ/dt:

p* (∂e/∂Fia) ∂Fia - r* + Tia ∂Vi/∂xA + ∂QA/∂xA = r

∂e/∂t + ∂Fia/∂t ∂Fia + ∂QA/∂xA - r* = ∫

→ ∂e/∂t - ∂Fia/∂t Tia ∂Vi/∂xA - ∂QA/∂xA = r*

∂θ/∂t - ∂ ∂θ = ∂Fia/∂t Tia ∂Vi/∂xA ∂QA/∂xA - r* = ∫

^1/ρe' ( Tia/∂Fia ^∂Vi/∂xA ∂QA/ρe' - r* ) = r*

(3a) Legge di evoluzione per la temperatura

Conseguenze del principio di entropia in termoelasticità

Il nuovo sistema è formato dalle equazioni di campo in forma lagrangiana 1, 2, 3.

Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché il principio di entropia sia soddisfatto per un materiale termoelastico (e che esista una funzione energia libera differente dalla deformazione e dalla temperatura ψ = Ψ (ε, θ;) tale che):

S = -∂θ   = ∫   p* ≠ 0   e = Ψ - θ∂θ ^X (ε, θ;) ≥0

^3∂θ/∂xi ≥0

Dim: dal principio di entropia in forma lagrangiana si sostituisce S(Eθ;) - S(θ;, s) + ∫0   ∂yi/∂Fia - ∂ψ/∂xi = Σ^X o

Inserendo le derivate temporali ∂Fia/dt

(∂ψ/∂yi) ≠ 0 ∫0 - (∂e/∂Fia) ∂Fia + ∂θ/∂xA - (∂xi/∂ψ;) θ; ∂θ;/∂xA - (∂θ;/∂Fia) grad∂ - θ;gradθ; ≍ *∫

Equazioni di campo della termoelasticità

ρ^e _dt Vi / _dt + _∂TiA / _∂XA = ρ^e bi

Bilancio quantità di moto

_∂Vi / _∂t + _∂FiA / _∂XA = 0

Compatibilità

ρ^e _∂FiA / _∂t (Ti_AVi - Q_A) = ρ^e bi Vi + r^e

Bilancio energia

Legge di evoluzione per l'energia interna

Moltiplico la scalarmente per Vi:

ρ^e _dt Vi Vi = ρ^e bi Vi |→ ρ^e _∂t (v²/2)Vi _dt Vi / _∂XA = ρ^e bi Vi

Sottraggo tale equazione alla:

ρ^e _∂Tia / _∂t + Vi _∂FiA / _∂XA + _∂QA / _∂XA = r^*

Legge di evoluzione per l'energia interna

Sappendo che e=e(F,E,θ;) allora si ha:

_de / _dt = _∂FiA / _∂t + _de / _∂θ;

Sostituisco e poi ricavo de/dt

ρ^e _∂FiA / _dt + _∂FiA / _∂XA + _∂QA / _∂XA + _TiA ∂i / _∂t+ _TiA + Vi = _de / _{∂XA e}+ _∂QA / _∂XA - _de / _∂θ; + ρ^e ri = r^*

Legge di evoluzione per la temperatura

_∂θ; / _∂t θ;_F,θ; {T_ia/ρ^e + _∂FiA/ _∂t + _∂Tie / _{r^e Vi} + _∂QA / _∂XA}

Conseguenze del principio di entropia in termoelasticità

Il nuovo sistema è formato dalle equazioni di campo in forma lagrangiana 1, 2, 3.

Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché il principio di entropia sia soddisfatto per un materiale termoelastico è che esista una funzione energia libera dipendente da deformazione e dalla temperatura Ψ(e,θ;) tale che:

_S = _de / _dθ; = ρ^e S⁰ ⇔ θ; = Ψ - θ;∂S(θ;,e) ≥0 con

_∂S / _∂t sf (F,θ;)

Dim: dal principio di entropia in forma lagrangiana si sostituisce S(θ;,e) - S(θ;,e)+ _∂θ; / + ∂Q_A / _∂θ; = S^* - θ; S⁰