Riassunto esame Fisica Matematica e trattamento delle osservazioni statistiche, Prof. Ruggeri Tommaso, libro consigliato Introduzione alla termomeccanica dei continui, Tommaso Ruggeri

Name: Riassunto esame Fisica Matematica e trattamento delle osservazioni statistiche, Prof. Ruggeri Tommaso, libro consigliato Introduzione alla termomeccanica dei continui, Tommaso Ruggeri
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Author: icse_97

Revisionato il 10/09/2026

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Riassunto per l'esame di Fisica Matematica e trattamento delle osservazioni statistiche, basato sul corso e sullo studio autonomo del libro consigliato da Prof. Ruggeri Tommaso: Introduzione …

Esame Fisica Matematica e trattamento delle osservazioni statistiche

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ruggeri Tommaso

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2024-2025

76 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Appunti d’esame fisica-matematica di proprietà di Ignazio Celardi appunti d'esame fisica-matematica di proprieta' di Ignazio Celardi

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Operatori matriciali su vettori

Si definisce base ortonormale una terna di vettori aventi modulo unitario e ortogonali tra loro.

(̂₁, ̂₂, ̂₃) è una base ortonormale se:

̂₁ · ̂₁ = 1

̂₂ · ̂₂ = 1

̂₃ · ̂₃ = 1

̂₁ · ̂₂ = 0

̂₂ · ̂₃ = 0

̂₃ · ̂₁ = 0

Proprietà commutativa nel prodotto scalare: permutare gli elementi.

In questi sistemi risulta _i = ̂_i · per = 1, 2, 3.

Introduciamo la cosiddetta convenzione di Einstein sugli indici ripetuti che prevede la soppressione del nucleo di sommatoria e l'escludendo sottintende che però vada comunque eseguita.

Prodotto scalare tra vettori

a · b = a_ib_i = a₁b₂ + a₂b₂ + ... + a_nb_n, i = 1, 2, ..., n

Prodotto vettoriale

aΛb = c ove c è ortogonale al piano su cui giacciono a e b.

_i = ϵ_ijk _j_k ove ϵ_ijk è il simbolo di Levi-Civita.

ϵ_ijk = 0 se due indici sono uguali.

+1 se i, j, k sono permutazione ciclica pari.

-1 se j, k, l sono permutazione ciclica dispari.

Esempio: ϵ₁₂₃ = 1 ϵ₃₂₁ = -1 ϵ₁₁₂ = 0 ϵ₁₂₂ = 0 ϵ₂₂₃ = 0.

aΛb ≠ bΛa è non commutativo.

u = (₁, ₂, ₃) v = (₁, ₂, ₃)

aΛb = ₁₂₃ ₁₂₃ = c₁, c₂, c₃

c₁ = ₂₃ - ₃₂

c₂ = ₃₁ - ₁₃

c₃ = ₁₂ - ₂₁

F₁₂₃ = 1 F₁₃₂ = -1

Analogo c₂ e c₃

1.1 Operatori matriciali e componenti cartesiane

Definiamo operatore matriciale un operatore lineare Â che trasforma un generico vettore in un altro vettore = ̂ trasforma _{= (A11 A12 A13)} t = (A21 A22 A23) t = (A31 A32 A33) t = (W 1 W 2 W 3) w

w₁ = A₁₁v₁ + A₁₂v₂ + A₁₃v₃

w₂ = A₂₁v₁ + A₂₂v₂ + A₂₃v₃

w₃ = A₃₁v₁ + A₃₂v₂ + A₃₃v₃

w_i = A_ijv_j

A(u+v)= Au + Av ∀u,v ∈ ℝⁿ

A(λu)= λ(Au) ∀λ∈ℝ, ∀u_n∈ℝⁿ

È importante conservare che il vettore w è espressa solo da v e che A non dipende dalla base infocazione &o il rappresenta il vettore.

1.2 Operatore identità

Chiamiamo operatore identità I n, l'operatore che trasforma v in se stesso.

Iv = Iv ∀v ∈ ℝⁿ

Degli elementi che rappresentano I in una qualsiasi base sono le componenti del simbolo &o di Kronecker:

I = [ s_ij ]

Con s_ij = {0 se i ≠ j}{1 se i = j}

s_ij = δ₁ _i + δ_i2 + δ_i3 = 3 in ℝ³

1.3 Prodotto di uno scalare per un operatore matriciale

Definiamo l'operatore Ā prodotto di uno scalare λ ∈ℝ per un operatore C = λA con A è reale per cui W = Av.

Moltiplica entrambi i membri per v e ottengo:

Cv = λAv

C_ij = λA_ij

Un operatore Ā = λA si dice operatore isotropo.

1.4 Somma di due operatori

C = A + B equivale a Cv = Av + Bv.

C_ij = A_ij + B_ij

1.5 Prodotto di due operatori

C = AB equivale a Cv = A(Bv) ∀v ∈ ℝⁿ

Il prodotto tra operatori non gode della proprietà commutativa ossia AB ≠ BA.

Nel caso in cui AB =

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