Riassunto esame Fisica 1, Prof. Cardia Carlo, libro consigliato Meccanica dei fluidi, Sammarco

Università degli studi di Roma “Tor Vergata”

Dipartimento di Ingegneria Civile e Ingegneria Informatica

– Prof. ing. P. Sammarco –

Esercitazioni del corso di

Idraulica

Anno Accademico 2013-2014 Ringraziamenti

Dispense redatte con il supporto e contributo di:

Dott. ing. S. Michele. Università degli studi di Roma “Tor Vergata”;

Dott. ing. E. Renzi. University college Dublin;

Prof. ing. M. Di Risio. Università degli studi dell’Aquila;

che l’autore ringrazia sentitamente. 1 1

Cinematica dei fluidi

Riferimenti utili

Prof. Ing. P. Sammarco

Dipartimento di Ingegneria Civile e Ingegneria Informatica

e-mail: sammarco@ing.uniroma2.it

Sito ufficiale del corso: http://www.uniroma2.it/didattica/idra/deposito/deposito.htm

Notazione

x, y, z: variabili indipendenti

i , i , i : terna di versori nel riferimento cartesiano

x y z

v: vettore velocità

a: vettore accelerazione

Operatore nabla

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∇ = i + i + i = , ,

x y z

∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

Gradiente del campo delle velocità ∂v ∂v

∂v

 

x y z

∂x ∂x ∂x

 

 

∂v ∂v ∂v

 

x y z

∇v =  

 

∂y ∂y ∂y

 

 

∂v ∂v ∂v

 

x y z

∂z ∂z ∂z

Divergenza del campo delle velocità ∂v ∂v

∂v y z

x

∇· + +

v = ∂x ∂y ∂z

Rotore del campo delle velocità

∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v

z y x z y x

∇∧ − − −

v = i + i + i

x y z

∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

2

P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI

Ω, D, L, S: componenti tensoriali del campo delle velocità

Φ: potenziale scalare della velocità

A, B, C, ...: costanti scalari

Concetti di base

Elemento fluido: Volume di fluido di dimensioni talmente ridotte rispetto al volume del corpo complessivo,

che le grandezze fisiche in esso si possono ritenere costanti

b(x, t)= grandezza fisica associata ad un elemento fluido che passa in x all’istante t

Teorema del trasporto in forma locale (derivata sostanziale)

Db ∂ ·∇

= + v b

Dt ∂t

Teorema del trasporto in forma integrale

Z Z ∂b

D ∇ ·

b dV = + (bv) dV

Dt ∂t

V V

Z Z Db

D ·

b dV = + b∇ v dV

Dt Dt

V V

Esercizi svolti

Esercizio n. 1

Dato il seguente campo di velocità v = x i + y i + z i

x y z

1. Derivare le espressioni della divergenza, del rotore, del gradiente, dell’accelerazione e del potenziale di

v.

2. Derivare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D; scomporre quindi D = L + S. Indicare il

tipo di rotazione/deformazione connessa al campo di velocità.

3. Indicare se il moto descritto è di tipo isocoro e/o irrotazionale.

4. Valutare se il moto può essere realizzato con un fluido incomprimibile e spiegarne le motivazioni.

Soluzione proposta

∂v ∂v ∂v

y z

x

∇ ·

1. v = + + = 3 .

∂x ∂y ∂z

∂v ∂v ∂v ∂v ∂v

∂v

z y x z y x

∇∧ − − −

v = i + i + i = 0 .

x y z

∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

∂v ∂v ∂v

 

y z

x

∂x ∂x ∂x

   

1 0 0

 

∂v ∂v

∂v

 

x y z

∇v 0 1 0

= = = I .

   

 

∂y ∂y ∂y 0 0 1

 

 

∂v ∂v ∂v

 

x y z

∂z ∂z ∂z 3

P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI

∂v

Dv · ∇v ·

= + v = 0 + [x, y, z] I = x i + y i + z i .

a = x y z

Dt ∂t ∇Φ,

Poichè il campo di velocità ammette rotore nullo, può scriversi v = che espressa per componenti

fornisce le seguenti relazioni: ∂Φ

 = x

v =

 x

 ∂x









 ∂Φ

 .

v = = y

y ∂y







 ∂Φ



 = z

v =



 z ∂z

Dall’integrazione della prima equazione in x, si ricava

2

x

Φ(x, y, z) = + f (y, z) ,

2

con f (y, z) funzione da determinare. Inserendo l’espressione del potenziale appena trovata nella seconda

equazione del sistema, si ha 2

y

∂f ⇒

= y f (y, z) = + g(z) .

∂y 2

Con ciò, il potenziale diventa 2 2

x y

Φ(x, y, z) = + + g(z) .

2 2

Sostituendo questa espressione nella terza equazione del sistema, si ottiene

2

z

0 ⇒ + c.

g (z) = z g(z) = 2

Il potenziale quindi è: 2 2 2

x y z

Φ= + + + c,

2 2 2

definito a meno della costante di integrazione arbitraria c. Imponendo che Φ = 0 nell’origine (0,0,0),

si ottiene in definitiva: 1 2 2 2

Φ= x + y + z .

2

1

T

∇v ∇v

2. D = + = I .

2

1

T

∇v − ∇v

Ω = = 0 .

2

1 · ·

L = (∇ v) I = I .

3 −

S = D L = 0 . ≡

Non esistono rotazioni rigide impresse (Ω = 0). La deformazione impressa è una dilatazione (D L).

3. Il moto descritto è irrotazionale. ∇ ·

4. No, per un fulido incomprimibile deve essere v = 0 . 4

P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI

Esercizio n. 2

Dato il seguente campo di velocità 2

v = Ax i + xz i + z ln z i

x y z

1. Derivare le espressioni della divergenza, del rotore, del gradiente, dell’accelerazione v.

2. Derivare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D; scomporre quindi D = L + S. Indicare il

tipo di rotazione/deformazione connessa al campo di velocità.

3. Indicare se il moto descritto è di tipo isocoro e/o irrotazionale.

4. Valutare se il moto può essere realizzato con un fluido incomprimibile e spiegarne le motivazioni.

Soluzione proposta

∂v ∂v ∂v

x y z

∇ ·

1. v = + + = 2Ax + ln z + 1 .

∂x ∂y ∂z

∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v

z y x z y x

∇∧ − − − −x

v = i + i + i = i + z i .

x y z x z

∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

∂v ∂v ∂v

 

x y z

∂x ∂x ∂x

  



2Ax z 0

 

∂v ∂v ∂v

 

x y z

∇v 0 0 0 .

=

=   



 

∂y ∂y ∂y 0 x ln z + 1

 

 

∂v ∂v ∂v

 

x y z

∂z ∂z ∂z

Dv ∂v 2 2 3 2

· ∇v ·

a = = + v = 0 + (Ax , xz, z ln z) I = 2A x i + (zAx + zx ln z) i + z ln z(ln z + 1) i .

x y z

Dt ∂t z

 

2Ax 0

2

z x

1  

T

∇v ∇v 0

2. D = + = .

 

2 2

2  

x

 

0 ln z + 1

2

z

 

0 0

2 x

z

1  

T −

−

∇v − ∇v ∇v.

0

Ω = = . Resta verificato che D + Ω =

 

2 2

2  

x

 

0 0

2

1

1 ·

(∇ v) I = (2Ax + ln z + 1) I .

L = 3 3 z

1

 

−

[4Ax (ln z + 1)] 0

3 2

 

z 1 x

 

−

S = D L = .

− (2Ax + ln z + 1)

 

2 3 2

 

x 2

 

0 [−Ax + (ln z + 1)]

2 3 5

P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI

Al fluido vengono impresse una rotazione rigida, una dilatazione ed una distorsione.

3. Un moto non irrotazionale. · ⇒ ∀

4. Per un fluido incomprimibile, ρ∇ v = 0 2Ax + ln z + 1 = 0, x, z. Ne segue che l’equazione

di conservazione della massa non è rispettata, qualsiasi valore assuma A. Il moto pertanto non può

realizzarsi con fluido incomprimibile.

Esercizio n. 3

Le correnti di deriva sono generate dai venti che spirano sulla superficie libera dei mari e degli oceani. Se il

vento spira nella direzione i , la velocità della corrente di deriva alla profondità z è

y π π z π

π z π z

π z

cos i + V exp sin i

+ +

v = V exp x y

d 4 d d 4 d

nel piano (x, y), con l’asse z ad esso ortogonale e rivolto verso l’alto. La superficie libera del fluido ha

equazione z = 0; la profondità del fondale si assume infinita. V e d si esprimono in dipendenza della

viscosità del fluido e sono da assumersi note.

1. Derivare le espressioni della divergenza, del rotore, del gradiente, dell’accelerazione di v.

2. Derivare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D; scomporre quindi D = L + S. Indicare il

tipo di rotazione/deformazione connessa al campo di velocità.

3. Indicare se il moto descritto è di tipo isocoro e/o irrotazionale.

4. Valutare se il moto può essere realizzato con un fluido incomprimibile e spiegarne le motivazioni.

5. Calcolare la portata per unità di larghezza nelle due direzioni principali x ed y, rispettivamente q e

x

q .

y

6. Che relazione esiste tra portate direzionali della corrente e direzione del vento ?

Soluzione proposta

∂v ∂v ∂v

x y z

∇ ·

1. v = + + = 0 .

∂x ∂y ∂z

∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v

z y x z y x

∇∧ − − −

v = i + i + i =

x y z

∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

πV π z π π z π π z π π z π π z

n h i h i o

− −

= exp sin + + cos + i + cos + sin + i =

x y

D D 4 D 4 D 4 D 4 D

√ V π z π z π z

h i

−

= 2 π exp cos i + sin i .

x y

D D D D

∂v ∂v ∂v

 

y z

x

∂x ∂x ∂x

   

0 0 0

  √ πV π z

∂v ∂v

∂v

  0 0 0

x y z

∇v exp

= = 2 .

   

πz π z

D D

 

 

∂y ∂y ∂y − sin cos 0

  D D

 

∂v ∂v ∂v

 

x y z

∂z ∂z ∂z 6

P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI

∂v · ∇v

+ v = 0 .

a = ∂t π z



 −

0 0 sin

√ D

π z

1 2 πV π z 



T

∇v ∇v 0 0 cos .

2. D = + = exp 

 D

2 2 D D 

 π z

π z 



− cos 0

sin D D π z

 

0 0 sin

√ D

π z

1 2 πV π z  

T −

∇v − ∇v 0 0 cos

Ω = .

exp

=  

D

2 2 D D  

π z π z

 

− sin cos 0

D D

⇒ ≡

L = 0 S D . Al campo di velocità sono connesse rotazione rigida e distorsione.

3. Il moto è di tipo isocoro. Dρ · ∇v · ∇v

4. Sı̀. Per un fluido incomprimibile infatti + ρ = ρ = 0 .

Dt 1

5. La portata q attraverso la superficie A di normale i (cfr. figura 1.1) è :

x x x √

0 0

Z Z Z π πz 2 DV

π z

· ·

q = v i dA = cos + dz = . . . = .

v 1 dz = V exp

x x x d 4 d 2 π

−∞ −∞

A x 1

La portata q attraverso la superficie A di normale i è :

y y y

0 0

Z Z Z π z π πz

· ·

q = v i dA = v 1 dz = V exp sin + dz = . . . = 0 .

y y y d 4 d

−∞ −∞

A

y

Figura 1.1: Superficie A di normale i per il calcolo della portata q . Analogo schema vale in direzione y, cambiando

x x x

i pedici, per il calcolo della portata q .

y

6. La corrente ha flusso netto solo in direzione i , ed è pertanto ortogonale alla direzione i in cui invece

x y

spira il vento. πz

1 Risolvere l’integrale sostituendo w = e integrando due volte per parti.

D 7

P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI

Esercizio n. 4

Vortice di Rankine

Il moto piano e stazionario di un vortice di raggio r avente centro nell’origine degli assi (x, y), è descritto

0

in coordinate polari dalle seguenti espressioni della velocità radiale v e della velocità tangenziale v :

r θ

v =0



 r

v = 0

r  2

r ω

  0

v = ωr ; v =

θ θ r

≤ ≤

0 r r

 

0  ≥

r r

0

Figura 1.2: Rappresentazione schematica del vortice

dove con ω si è indicata la velocità angolare positiva in senso antiorario (vortice di Rankine). Assumendo il

fluido ideale ed incomprimibile si richiede:

1. Scrivere le componenti della velocità in coordinate cartesiane v (x, y) e v (x, y).

x y

2. Determinare in quali parti del dominio il campo delle velocità risulta isocoro ed irrotazionale.

3. Ricavare l’espressione della funzione di corrente Ψ(x, y). ≤ ≤ ≥

4. Discutere l’esistenza del potenziale delle velocità Φ(x, y) per 0 r r ed r r .

0 0

5. Derivare il tensore dei gradienti delle velocità e l’accelerazione

6. Derivare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D; scomporre quindi D = L + S. Indicare il

tipo di rotazione/deformazione connessa al campo di velocità.

Soluzione proposta

1. 2 2

 r ω sin θ r ωy

0 0

− −

v = =

 x

 

−v −ωy

v = sin θ = 2 2 0.5 2 2

(x + y ) (x + y )



x θ

v = 0 

 

r 2 2

r ω cos θ r ωx

v = v cos θ = ωx

=⇒ ;

y θ 0 0

2 2 0.5 v = =

r = (x + y ) y

≤ ≤

0 r r 2 2 0.5 2 2

  (x + y ) (x + y )

0 



 ≥

r r

 0 8

P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI

∂v ∂v

∂v y z

x ∀ −→

∇ · + + =0 x, y Isocoro ovunque .

2. v = ∂x ∂y ∂z

∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ≤ ≤ −→

2ω ; 0 r r Rotazionale

z y x z y x 0

∇∧ − − −

v = i + i + i = .

x y z ≥ −→

0 ; r r Irrotazionale

∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y 0

• ∈

3. r [0, r ]

0 ∂Ψ −ωx

=

∂x

∂Ψ −ωy

=

∂y

∂Ψ

Integrando la si ottiene:

∂y 2

ωy

−

Ψ(x, y) = + f (x).

2

∂Ψ −ωx

= si ha:

Dato che ∂x 2

ωx

−

f (x) = + cost.

2

Imponendo Ψ(0, 0) = 0: 2 2

ω(x + y )

−

Ψ(x, y) = 2 2

ωr

0

−

Si ottiene quindi il valore della funzione di corrente sul bordo del vortice Ψ(r , θ) = .

0 2

• r > r 0 2

r

∂Ψ ωx

0

−

= 2 2

∂x x + y

2

r ωy

∂Ψ 0

−

= 2 2

∂y x + y

Si procede come nel caso precedente:

2 2 2

r ω ln(x + y )

0 0

− → →

Ψ(x, y) = + f (x) f (x) = 0 f (x) = cost.

2

2

ωr

0

−

Imponendo Ψ(r , θ) = , si ricava il valore della costante:

0 2 2 2 2

r ω ln(r ) ωr

0 0 0

−

cost. = .

2 2

In definitiva si ottiene: √

2

r ωr r e

0

2

−r − −r

Ψ(x, y) = ω ln = ω ln

0 0

r 2 r

0 0 9

P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI

≤ ≤

4. Per 0 r r il moto è rotazionale pertanto non esiste un potenziale scalare;

0 y

2

≥

Per r r il moto è irrotazionale ed il potenziale vale: Φ(x, y) = r ω arctan .

0 0 x

5. ∂v

∂v

∂v ∂v 



 x x

x y a = v + v

 x x y

 ∂x ∂y

∂x ∂x

∇v ;

= 

 ∂v ∂v ∂v ∂v

x y 

 y y

a = v + v

 y x y



∂y ∂y ∂x ∂y

2

−ω

o ω a = x

x

• ≤ ≤ ∇v

0 r r ; = ;

0 2

−ω −ω

0 a = y

y

2 2 2

2 2 2





 −

r ω(y x )

2r ωxy (r ω) x

0

0 0

−

a =

 x



2 2 2 2 2 2 2 2 2

(x + y ) (x + y ) (x + y )







• ≥ ∇v ;

r r ; =

0 

 2 2 2 2 2

2

−

r ω(y x ) (r ω) y

2r ωxy

0 0

0 

 −

− a =

 y



2 2 2 2 2 2 2 2 2



(x + y ) (x + y ) (x + y )

• ∈

6. r [0, r ]

0 1 1

T

∇v ∇v ·

D = + = 0 ; L = (∇ v) = 0

2 2

1 −

o ω S = D L = 0

T

∇v − ∇v

Ω = = ;

−ω 6

0 Ω = 0

2

Al campo di velocità è connessa una rotazione rigida.

• r > r 0 2 2 2

2

 

−

2r

4r ω(y x )

ωxy 0

0

1 2 2 2 2 2 2

(x