Riassunto esame Fondamenti di Informatica, Prof. Papalini Francesca, libro consigliato Analisi matematica 1, Bramanti Pagani Salsa

Orale Analisi 1

Assioma della completezza:

Dato due sottoinsiemi di r, tali che gli elementi di un insieme siano tutti minori di quelli contenuti in un altro insieme, esiste sempre un numero irrazionale nella loro intersezione.

Dato A, B ⊂ R: ∀ a ∈ A, b ∈ B: a < b → ∃ c ∈ R: a < c < b ∀ a ∈ A, b ∈ B

Insiemi limitati e illimitati:

1. Dato A ⊂ R, A ≠ ∅
   • A è limitato inferiormente se ∃ x ∈ R ∀ a ∈ A: a ≥ k → ∃ x: A ⊂ ]k - n; n ∈ N[
   • A è limitato superiormente se ∃ x ∈ R ∀ a ∈ A: a ≤ k → ∃ x: A ⊂ ]n - n; n ∈ N[
   • A è illimitato se ∃ x ∈ R ∀ a ∈ A: a > || > 1| > ∃ x: A = ]k, n; n ∈ N[
   • A è illimitato se ∃ x ∈ R ∀ a ∈ A: a < |n| → ∃ x: A = ]k[n

Estremo inferiore e superiore:

• Dato A ⊂ R, A ≠ ∅, limitato superiormente
  • Estremo superiore = il più piccolo tra tutti i maggioranti: sup A = Δ
  • Δ è un maggiorante → ∃ a ∈ A: a < Δ ≤ x ∈ A ∀ ε > 0 → ∃ a ∈ A: Δ - ε < a
• Dato A ⊂ R, A ≠ ∅, limitato inferiormente
  • Estremo inferiore = il più grande tra tutti i minoranti: inf A = I
  • I è un minorante → ∃ a ∈ A: I ≤ a ∀ ε > 0 → ∃ a ∈ A: a < I + ε

Definizione di funzione, dominio, codominio:

• Funzione: è una legge che associa ad un elemento di un insieme, un solo elemento di un altro insieme.
• Dominio: è un sottoinsieme dell'insieme di partenza in cui ha senso applicare la legge.
• Codominio: è un sottoinsieme dell'insieme di arrivo ed è composto dalle immagini del dominio.

Successioni:

Sono particolari tipi di funzioni per le quali valgono i concetti sopra espressi. Possono essere:

• Convergenti - hanno limite finito
• Divergenti - hanno limite infinito
• Indeterminati - il limite non esiste

ORALE ANALISI 1

ASSIOMA DELLA COMPLETEZZA:

Dati due sottoinsiemi H, K tali che gli elementi di un insieme siano tutti minori di quelli contenuti in un altro insieme, esiste sempre un numero irrazionale nella loro intersezione.

∃ λ ∈ R: ∀ a ∈ H, ∀ b ∈ K ⇒ a ≤ λ ≤ b ⇒ λ ∈ K

INSIEMI LIMITATI E ILLIMITATI:

Dato A ⊂ R, A ≠ ∅:

• A è limitato inferiormente se ∃ r ∈ R ⇒ ∀ a ∈ A : a ≥ r ⇒ ∃ r ∈ N
• A è limitato superiormente se ∃ r ∈ R ⇒ ∀ a ∈ A : a ≤ r ⇒ ∃ a ∈ N
• A è limitato se ∃ n > 0 : |a| ≤ n ∀ a ∈ A ⇒ ∃ : A = [h:m] ; n ∈ N
• A è illimitato se ∀ n > 0 : ∃ a ∈ A : |a| > n ⇒ ∃ : A = ]

ESTREMO INFERIORE E SUPERIORE:

A ⊂ R, A ≠ ∅, limitato superiormente

• Estremo Superiore ⇒ il più piccolo tra tutti i maggioranti:
  • Sup A = Λ
  • Λ è un maggiorante
  • ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : Λ - ε < a ≤ Λ

A ⊂ R, A ≠ ∅, limitato inferiormente

• Estremo Inferiore ⇒ il più grande tra tutti i minoranti:
  • Inf A = i
  • i è un minorante
  • ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a ≤ i < a + ε

DEFINIZIONE DI FUNZIONE, DOMINIO, CODOMINIO:

• Funzione : è una legge che associa ad un elemento di un insieme, un solo elemento di un altro insieme.
• Dominio : è un sottoinsieme dell'insieme di partenza in cui ha senso applicare la legge.
• Codominio : è un sottoinsieme dell'insieme di arrivo ed è composto dalle immagini del dominio.

SUCCESSIONI:

Sono particolari tipi di funzioni per le quali valgono i concetti sopra espressi.Possono essere:

• Convergenti ⇒ hanno limite finito
• Divergenti ⇒ hanno limite infinito
• Indeterminate ⇒ il limite non esiste

• (a_n)_n convergente ⇏ (a_n)_n è limitata
• Se a_n → ℓ, la successione ha come limite ℓ
• Se a_n → ℓ (a_n)_n è limitata ma non converge
• (a_n)_n divergente ⇏ (a_n)_n è illimitata
• Se a_n → ∞ la successione non ha limite
• Se a_n = (-1)ⁿ è illimitata ma oscilla

Teorema di regolarità delle successioni monotone

(a_n)_n monotona (a_n)_n è regolare

Ipotesi: (a_n)_n crescente → a_n ≤ a_n+1 e prendo il sup a_n < +∞

1. Se il limite è Δ:
   • - ∃ n₀ ∀ n ∈ ℕ
   • - ∀ ε &g