Riassunto esame Analisi 2, Prof. Mora Maria Giovanna, libro consigliato Analisi matematica 2, Bramanti pagani salsa

Integrale di linea di prima specie

∫_C f ds = ∫_a^b f(x(t), y(t)) . l'(t) dt

Lunghezza curva

∫_a^b √(1 + (f'(t))²) dt = ∫_a^b |df/dt|² dt

Piano tangente e vettore normale

Piano tg: m (x-x₀ y₀-z₀) = 0

Vettore normale: m = ⎛d⎞
| | |
n = ⎛1⎞
      | | |
     0     
| | |
    1

Volume sfera

4/3 π R³

Determinanti e proprietà

• det(HF)²0 → MIX (X YO) minimo locale con tutti autovalori positivi
• 2 ≥ 0 → semidef positiva
• 2 ≤ 0 → semidef negativa

Versore normale ad una superficie

⎛-²/ |
  --²/ | 1
 √  + 1/)

Trovare potenziale

Integrale della componente in dx + 2ydz ∫ === A = Z ed uguale   × Integrale

Integrali e lunghezza curva

• ∫_c f ds = ∫^b_a f(x(t)) * l̇(t) dt
• ∫_c f(x,y) ds = ∫^b_a f(x(t), y(t)) √ẋ² + ẏ² dt
• ∫^b_a √ẋ² + ẏ² + ż² dt
• Lunghezza curva ∫^t1_t0 l̇(t) ||l' (t)|| dt = ∫^b_a √l̇(t) dl²
• l(c) = ∫_f ds = ∫₀ Period ∫₀^T l' (s) ds
• 1+cos(2α) / 2 = cos² (α)

Volume sfera

4/3 * π * R³

Piano tangente e vettore normale

Piano tg = m(x-x₀ y-y₀) - z = 0

Vettore normale M = 1; 1; 1

Determinanti e autovalori

• det(Hf (x)) definita positiva → minimo locale
• definita negativa → massimo locale
• indefinita → punto di sella
• semidefinita positiva → minimo debole
• semidefinita negativa → massimo debole
• det(Hf) tutti autovalori positivi → definita positiva
• tutti autovalori negativi → definita negativa
• λ = 0 → semidef positiva
• λ ≤ 0 → semidef negativa

Trovare potenziale

Integro prima componente in dx + 2y dz, derivo rispetto ad y ed uguaglio a seconda componente, trovo d(3y dz), integro in 3 dy + b(cz), derivo rispetto a z ed uguaglio a terza componente, integro in 2 db(z) dx / dz + c

Continuità e derivabilità

Definita per automovalore → continuo → derivabile

Continuità → insiemistica

Continuo intervallo ⇾ derivabile derivabile se esistono derivata parziali

Versore normale ad una superficie (-∂z/∂x -∂z/∂y 1) √ 1 + |∇f(x,y)|¹¹²

Serie di funzioni

• I ⊆ R   p_n: I → R   ⇔   ∑_n=0^∞ p_n(x)
• La serie può convergere, divergere o essere irregolare in un punto.
• Convergenza puntuale:   ∀ x ⊆ I   ∑ p_n(x) convergente come serie numerica.
• Convergenza assoluta   ∀ x ⊆ I   ∑ |p_n(x)| convergente come serie numerica.
• Convergenza totale   se ∃ C_n di termini reali positivi t.c. converge ∀ x ⊆ I  e risulta   |p_n(x)| ≤ C_n

Esempi di serie di funzioni

• Serie geometrica   ∑_n=0^∞ xⁿ = ¹⁄_1-x   per x ⊆ (-1, 1)
• Serie esponenziale   ∑_n=0^{∞ xn}⁄_n! = e^x   ∀ x ∈ ℝ
• Possono essere, oltre serie di Taylor derivabili infinite volte della forma   ∑_n=0^∞ a_n xⁿ sono chiamate serie di potenze.
• Se una serie converge totalmente allora converge anche puntualmente.

Teorema continuità della somma

• I ⊆ R   p_n: I → R continue in x₀   x₀ ⊆ I  ∑_n=0^∞ p_n converge totalmente
• La somma   ρ(x) = ∑_n=0^∞ p_n(x)   ρ continua in x₀.  Se ogni p_n continua, ρ è anche ρ

Teorema integrabilità termine a termine

p_n : [a,b] → R continui   ∑ p_n converge totalmente in   [a,b]

La serie è integrale termine a termine