Riassunto esame Analisi 1, Prof. Leone Chiara, libro consigliato Analisi matematica (Vol. 1) , Paolo Marcellini, Carlo Sbordone

1 Sommario

1 – Insiemi e .................................................................................................................................................. 6ℝ

• 2 Numeri reali 7ℝ....................................................................................................................................
• 2.1 Proprietà algebriche ................................................................................................................ 7
• 2.2 Proprietà di ordinamento ...................................................................................................... 7
• 2.3 Comuni all’ordinamento e alle algebriche ....................................................................... 7
• 2.4 Assioma di continuità (di Dedekind) ..................................................................................... 8
• 3 Insiemi .................................................................................................................................................. 9
• 3.1 Notazione .................................................................................................................................. 10
• 3.2 Operazioni tra insiemi ............................................................................................................ 10

2 – Massimo minimo estremi ......................................................................................................................... 11

• 4 Massimo e minimo ........................................................................................................................... 12
• 5 Maggiorante e minorante ........................................................................................................... 13
• 6 Estremo superiore e inferiore ..................................................................................................... 14
• 6.1 Teorema di esistenza dell’estremo superiore e inferiore ............................................. 15
• 7 Insiemi non limitati ........................................................................................................................ 16

3 – Funzioni ..................................................................................................................................................... 17

• 8 Funzione tra insiemi ....................................................................................................................... 18
• 8.1 Operazioni tra funzioni ......................................................................................................... 18
• 8.1.1 Composizione ................................................................................................................... 18
• 8.1.2 Prodotto cartesiano tra 2 insiemi ............................................................................. 18
• 8.1.3 Grafico di una funzione ................................................................................................ 18
• 8.2 Proprietà delle funzioni ....................................................................................................... 19
• 8.2.1 Iniettiva ................................................................................................................................ 19
• 8.2.2 Suriettiva.............................................................................................................................. 19
• 8.2.3 Biunivoca ............................................................................................................................. 19
• 8.2.4 Inversa: ................................................................................................................................ 19
• 8.3 Funzioni monotone ................................................................................................................ 21
• 8.4 Funzione valore assoluto .................................................................................................... 22
• 8.4.1 Grafico............................................................................................................................... 22
• 8.4.2 Proprietà ........................................................................................................................... 22
• 8.4.3 Disuguaglianza triangolare ....................................................................................... 22
• 8.4.4 Proprietà ........................................................................................................................... 22
• 8.5 Funzioni elementari ............................................................................................................... 24
• 8.5.1 Funzione potenza ............................................................................................................ 24
• 1
• 8.5.2 Funzione radice ............................................................................................................... 25
• 8.5.3 Funzione esponenziale ................................................................................................... 26
• ............................................................................................................................................................. 26
• 8.5.4 Logaritmi .......................................................................................................................... 28
• 9 Funzioni trigonometriche ............................................................................................................ 29
• 9.1 Funzioni seno e coseno .......................................................................................................... 29
• 9.1.1 Relazione fondamentale .............................................................................................. 30
• 9.2 Funzione tangente........................................................................................................................ 30
• 10 Funzioni trigonometriche inverse ......................................................................................... 33
• 10.1 Arcoseno ...................................................................................................................................... 33
• 10.2 Arcocoseno .................................................................................................................................. 33
• 10.3 Arcotangente ............................................................................................................................... 34
• 11 Studio di una funzione .............................................................................................................. 35

4 – Principio di induzione ............................................................................................................................... 36

• 12 Principio di induzione................................................................................................................. 37
• 12.1 Somma di Gauss .......................................................................................................................... 37
• 12.2 Monotonia della potenza n-esima ............................................................................................... 37
• 12.3 Diseguaglianza Bernoulli .............................................................................................................. 38

5 – Limiti funzioni ........................................................................................................................................... 39

• 13 Limiti di funzioni .......................................................................................................................... 40
• 13.1 Tendente a ............................................................................................................................ 40∞
• 13.2 Tendente a ........................................................................................................................... 41
• 13.3 Limite destro e limite sinistro .............................................................................................. 41
• 13.4 Teorema ponte ......................................................................................................................... 41
• 13.4.1 Dimostrazione ................................................................................................................. 42
• 13.5 Operazioni con i limiti di funzione ...................................................................................... 43
• 13.6 Limiti di funzioni composte .................................................................................................. 43

6 – Continuità .................................................................................................................................................. 44

• 14 Continuità di una funzione ...................................................................................................... 45
• 14.1 Discontinuità di salto (1 specie) .......................................................................................... 46
• 14.2 Discontinuità di 2 specie ........................................................................................................ 46
• 14.3 Discontinuità eliminabile (3 specie) ................................................................................... 46
• 15 Teoremi funzioni continue ....................................................................................................... 47
• 15.1 Teorema permanenza del segno ......................................................................................... 47
• 15.1.1 Enunciato ............................................................................................................................. 47
• 15.1.2 Dimostrazione ................................................................................................................. 47
• 2
• 15.2 Teorema composizione funzioni continue ....................................................................... 48
• 15.3 Teorema di Weierstrass ......................................................................................................... 49
• 15.3.1 Discussione ipotesi .......................................................................................................... 49
• 15.3.2 Osservazione .................................................................................................................... 50
• 15.3.3 Dimostrazione Weierstrass .............................................................................................. 50
• 15.4 Teorema di esistenza degli zeri ............................................................................................ 51
• 15.5 Teorema dei valori intermedi .............................................................................................. 52
• 15.5.1 Dimostrazione ................................................................................................................. 52
• 15.6 Teorema di continuità della funzione inversa ............................................................... 52

7 – Successioni ................................................................................................................................................ 53

• 16 Limiti di successioni .................................................................................................................... 55
• 16.1 Teorema di unicità del limite ............................................................................................... 56
• 16.2 Strumenti per il calcolo dei limiti ...................................................................................... 56
• 16.2.1 Teoremi di confronto .................................................................................................... 57
• 16.2.2 Teoremi algebrici ............................................................................................................ 57
• 16.3 Successioni limitate ............................................................................................................... 60
• 16.3.1 Teorema successioni limitate ...................................................................................... 60
• 16.3.2 Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima ...................................................................................................................................... 61
• 17 Criterio della radice .................................................................................................................. 62
• 17.1 Dimostrazione ......................................................................................................................... 62
• 18 Criterio del rapporto ................................................................................................................ 63
• 19 Criterio rapporto radice .......................................................................................................... 63
• 20 Limiti notevoli ............................................................................................................................. 64
• 20.1 Limiti delle funzioni trigonometriche .............................................................................. 65
• 21 Successioni monotone .............................................................................................................. 68
• 21.1 Teorema successioni monotone ......................................................................................... 68
• 22 Sottosuccessioni ......................................................................................................................... 69
• 22.1 Teorema di Bolzano Weierstrass ........................................................................................ 69

8 – Derivate ..................................................................................................................................................... 70

• 23 Derivata di una funzione .......................................................................................................... 71
• 23.1 Regole di derivazione ............................................................................................................. 73
• 23.1.1 Somma ............................................................................................................................... 73
• 23.1.2 Prodotto di una costante per una funzione .......................................................... 73
• 23.1.3 Prodotto ........................................................................................................................... 74
• 23.1.4 Reciproco .......................................................................................................................... 74
• 3
• 23.1.5 Quoziente .......................................................................................................................... 75
• 23.2 Teorema di derivazione delle funzioni composte .......................................................... 75
• 23.3 Teorema di derivazione delle funzioni inverse ............................................................... 75
• 23.4 Derivate di funzioni elementari .......................................................................................... 76
• 23.4.1 Retta ................................................................................................................................... 76
• 23.4.2 Potenza .......................................................................................................... 76() =
• 23.4.3 Esponenziale ..................................................................................................................... 76
• Funzioni trigonometriche ............................................................................................................ 77
• 23.4.4 Seno .................................................................................................................................... 77
• 23.4.5 Coseno ............................................................................................................................... 77
• 23.4.6 Tangente ........................................................................................................................... 77
• 23.5 Derivate di funzioni inverse ................................................................................................. 78
• 23.5.1 Radice ................................................................................................................................. 78
• 23.5.2 Logaritmo ......................................................................................................................... 78
• 23.6 Funzioni inverse delle trigonometriche .......................................................................... 79
• 23.6.1 Arcoseno ........................................................................................................................... 79
• 23.6.2 Arcocoseno ...................................................................................................................... 79
• 23.6.3 Arcotangente .................................................................................................................. 80
• 24 Applicazioni delle derivate ....................................................................................................... 81
• 24.1 Teorema di Fermat .................................................................................................................. 81
• 24.2 Ricerca massimi e minimi assoluti ....................................................................................... 82
• 24.3 Teorema di Rolle ..................................................................................................................... 83
• 24.4 Teorema di Lagrange ............................................................................................................. 84
• 24.4.1 Conseguenze teorema di Lagrange ............................................................................ 85
• 24.5 Teorema di De l’Hopital ......................................................................................................... 87
• 24.6 Concavità e convessità .......................................................................................................... 88
• 24.6.1 Teorema criterio di convessità ................................................................................... 89
• 24.7 Asintoti ...................................................................................................................................... 90

9 – Taylor ......................................................................................................................................................... 91

• 25 O piccolo ..................................................................................................................