Potenziale elettrico

Potenziale elettrico

Ha un'importanza rilevante nell'ambito dei circuiti; abbiamo mostrato di considerare uno scenario iniziale dove prendiamo in esame una situazione ideale della presenza di un campo elettrico uniforme che è rappresentato da questa distribuzione di linee di flusso (**)! Campo elettrico pre-esistente, cioè in qualche modo questo campo è stato generato da una distribuzione di cariche.

Identifichiamo due tipologie:

• Segmenti uguali
• Cariche sulle quali viene esercitata l'azione del campo

Quindi da questa parte saranno presenti delle sorgenti di carica cioè una distribuzione di carica che avrà prodotto questo campo elettrico.

Della configurazione si assume che il campo elettrico può essere rappresentato da un punto di vista matematico attraverso un'espressione di questo tipo: -ŷE(y).

E = -ŷE(y) ampiezza

Importante notiamo che il campo elettrico in questo sistema di riferimento cartesiano è diretto lungo l'asse y negativo: poiché le frecce sono verso il basso ed ha una certa ampiezza che indichiamo con E(y).

Supponiamo di considerare una carica q che viene in qualche modo immersa in questo campo elettrico pre-esistente.

La carica q può essere negativa o positiva quindi q è incluso anche il segno cioè la polarità della carica.

Questa carica subisce l'azione del campo elettrico, cioè la forza che viene creata dal campo elettrico è

Possiamo dire che sulla carica q immersa nel campo elettrico pre-esistente viene esercitata una forza F che è pari al peso per l'eq. noto.

F = qE = -ŷqE(y)

Sostituendo l'espressione del campo elettrico questa forza sarà data da -ŷqE(y).

Abbiamo scoperto che la forza che agisce sulla carica q è orientata come il campo elettrico anch'essa è diretta lungo -ŷ ed ha un'ampiezza

Potenziale elettrico

Ha un'importanza rilevante nell'ambito dei circuiti, abbiamo necessità di considerare uno scenario iniziale dove prendiamo in esame una situazione legata alla presenza di un campo elettrico uniforme che è rappresentato da questa distribuzione di linee di flusso (###)

Identifichiamo due tipologie:

• Segmenti uguali
• Cariche sulle cariche viene esercitata l'azione del campo

Quindi da questa parte saranno presenti delle sorgenti di carica, cioè una distribuzione di carica che avrà prodotto questo campo elettrico.

Dalla configurazione esprimiamo che il campo elettrico può essere rappresentato dal punto di vista matematico attraverso un'espressione di questo tipo: (##)

E = - (##) y (E_y) (#) ampiezza.

Imponiamo che il campo elettrico in questo sistema di riferimento cartesiano è diretto lungo l'asse y negativo; poiché le frecce sono verso il basso ed ha un'ampiezza che indichiamo con E_y.

Supponiamo di considerare una carica q che immersa in questo campo elettrico pre-esistente.

La carica q può essere negativa o positiva quindi q è incluso anche il segno cioè la pesantezza della carica (#) della Forza.

Questa carica subisce l'azione (#) elettrica, cioè la forza che viene creata dal campo elettrico e

Possiamo dire che sulla carica q immersa nel campo elettrico pre-esistente viene esercitata una Forza F che poniamo per sé la compon() elettrico

F = qE = -(##) y qE_y

Sostituendo l'espressione del campo elettrico questa forza sarà data da - (##) y qE_y

Abbiamo scoperto che la forza che agisce su questa carica q è orientata dal campo elettrico anch'essa è diretta lungo y ed ha un'ampiezza che è il prodotto dell'ampiezza del campo elettro per la carica q.

Spostamento della carica lungo l'asse y positivo

Supponiamo di voler spostare la carica q lungo l'asse y positivo, cioè nella direzione opposta a quella dell'applicazione del campo e quindi della forza elettrica F.

Dal teorema dinamico sappiamo che se vogliamo spostare q con una velocità costante (e quindi con un'accelerazione nulla), la forza totale complessiva (cioè quella che agisce sulla carica) stessa dev'essere uguale a 0.

Possiamo scrivere questa relazione:

Eventuale forza da applicare F_ext, cioè forza esterna più la forza F dovuto al campo elettrico esistente dev'uguagliare 0 compensare si devono equivalere, cioè dobbiamo applicare una forza uguale oppure opposta a quella del campo elettrico

F_ext + F = 0

Da questa relazione, possiamo ricavare che la forza da applicare è uguale a -F. Quindi è uguale a -q * E_y. Però E_y

F_ext + F = 0 = -F_ext = -F = qE_y

Osservazione sulla forza esterna

Osservazione: La carica q viene spinta verso il basso del campo elettrico

In pratica metto la carica e questa viene naturalmente tirata verso il basso.

Se voglio spostare la carica in direzione opposta devo devo applicare una forza uguale e opposta che compensa le precedenti per forza muovere con una velocità costante, altrimenti la carica non si muoverebbe.

Quindi la forza da applicare è uguale e opposta alla forza elettrica, cioè

(γqE_y)

diretta su per giungere sopra ampiezza per q. qE_y

Questa è l'energia che dobbiamo spendere per spostare questa carica q di un tratto di l, sotto relazione della forza estrema F_ext.

È il lavoro.

Possiamo dire che l'energia che dobbiamo spendere per spostare la carica estrema q di un tratto di l, sotto relazioni di questa forza sarà data da:

Energia: dw = F_ext ◦ dℓ

grandezza scalare quindi data del prodotto scalare tra la forza e lo spostamento

Poiché dℓ = ŷdy , allora olw sarà uguale a:

dℓ = ŷdy dw = -QE ◦ dℓ = - qE ŷdy

dℓ = ŷdy

E = -ŶEy

A questo punto siamo in grado di definire il potenziale elettrico c'è il prodotto scalare tra campo e lo spostamento differenziale cambiato di segno.

dV = dw = Ey dy = -E ◦ dℓ

Unità di misura potenziale elettrico

Dato definizione di potenziale elettrico si evince anche l'unità di misura

Unità di misura potenziale elettrico

Poiché il campo elettrico si misura in

E = [^V/_metro], cioè E = [^V/_m]

e lo spostamento, cioè dl si misura in metri

dl = [m]

La tensione si misura in volt, cioè

dV = dW/q = E∙dy = -E ∙ded = [^vol/_m] [m]

dV = dW/q = E∙dy = -E ∙de [V]

Differenza di potenziale

Osservazione:

Abbiamo definito una differenza. Siamo partiti dal concetto di una carica immersa in un campo elettrico in una certa direzione di un campo elettrico e quindi siamo posti il problema di calcolare la quantità di energia potenziale in un campo infinitesima. Interessa per spostare questa carica di un tratto infinitesimo sto passando da un punto all’altro

Non stiamo calcolando il potenziale in un punto, ma stiamo calcolando una differenza di potenziale che è la grandezza elettrica avente un significato applicativo cioè il potenziale in un punto non ha un significato ma dev'essere sempre rapportato cioè riferito ad un certo riferimento.

Posso definire delle differenze di potenziale tra due punti

Quanto vale effettivamente la grandezza potenziale elettrico?

Se prendo due punti generici (p₁ e p₂)

La differenza di potenziale tra questi due punti che chiamiamo V₂1 per indicare che punto 2 è punto 1, come la calcolo?

V₂1 = V₂ - V₁ = ?

Se voglio la differenza di potenziale tra due punti i devo calcolare l'integrale

Se prendo i due punti P₁ e P₂ posso

P₂

P₁

oppure così:

oppure oppure così:

La differenza non dipende da come questo significa "essere indipendente dal cammino di integrazione

questo accade perché la forza elettrica è energia

Legge di Kirchoff per le tensioni

Dai principi di conservazione dell'energia possiamo ricavare la Legge di Kirchoff per le tensioni.

Legge di Kirchoff - è una conseguenza del principio di

In realtà sarebbero due, ma stiamo considerando la prima legge.

La caduta di potenziale netta in un percorso chiuso è sempre uguale a 0.

Se prendo un percorso chiuso, cioè parto da un punto P e ritorno nello stesso punto, P1 e P2 continuiamo

In questo caso, la caduta di potenziale netta è nulla perché i punti coincidono e quindi possiamo dire che la legge di Kirchoff per le tensioni si esprime così:

_∮E · de = 0

Da circuitazione di cioè l’integrale, la caduta di potenziale netta in un circuito chiuso è uguale a 0.

Se prendo una curva chiusa e vado a effettuare l’integrale su questa curva chiusa del prodotto scalare tra il campo elettrico e il de, dove il de è la direzione tangente della curva.

Quindi prendo la curva, la seguo ancora e prendo un altro de e così via proiettare il campo elettrico su tutti questi de, li sommo e questa viene pari a 0

Carica puntiforme e coordinate sferiche

Consideriamo una carica puntiforme q, E il cui ambiente ai fini di questo elaborato cambierà in sistema di riferimento in coordinate sferiche.

Supponiamo che sia P(R,θ,φ), possiamo identificare il punto attraverso la distanza R, mediante l'angolo θ e attraverso l'angolo φ.

Sistema di coordinate sferiche dove ho al centro una carica puntiforme q.

campo elettrico prodotto dalla carica q possa, nell'origine di un sistema di riferimento cartesiano.

Espressione campo elettrico prodotto da q.

Questo campo.

E = q/(4πεr²)

lungo vettore r

ha un'attrezzo pari a q/(4πεr²).

Supponiamo che nel nostro campo sia immesso in un mezzo di costante 'elettrica pari a ε.

Se voglio calcolare il potenziale elettrico del punto P devo calcolarlo come differenza del minimo all'infinito fino al punto P.

Per definizione avrà che

V scrivere in

Potenziale in P =

V₁ = _∞∫^R E _-∞d_r

Quando calcolo il volere del potenziale elettrico in un punto questo è calcolato come inferenza al potenziale elettrico all'infinito che per definizione è uguale a 0

(el se differenza tra il volere me punto P e questo all'infinito che è pari a 0 per assunzione.

Amm abbiamo scritto

V₂1 = V₂-V₁ = _P1∫_P2 'S' e_ext · dr

com V₁ = 0 e V₂ = ₀∫^RE · dr

Se voglio solo V₂ legge sottagono prettamente I'R V₁ che è uguale a 0.

Si assunse che il potenziale dello infinito sia uguale a 0.

A questo punto se poniamoo I ∫_R^∞ E . dr cosa possiamo scrivere andando a sostituire?

V = ∫_R^∞ E . dr

V = -∫_∞^R (k . ^q/_Qter²) . R_c dr = -^q/_Qter∫_∞^R dr/R²

∫_∞^R dr/R² = -¹/_R

V = ^q/_Qter - ¹/_R = ^q/_4terr

Capendo e . tende a 0, 12, potenziale tende a 0

Quindi alla fine avremo

E = ∫_R^{∞ q}/_Qter² campo elettrico nel punto P

V = ^q/_Qterr potenziale nel punto P ed è uno scalare che vale Qter

Campo elettrico e potenziale nel punto P

Abbiamo considerato una carica puntiforme 1 è una singola carica allocata nell'origine di un sistema di coordinate sferiche vogliamo calcolare il potenziale in un punto P a distanza r dalla carica q

Intanto scriviamo che la carica produce un campo elettrico nel punto P, che è un vettore diretto lungo R e avente intensità ^q/_Qter²

E inversamente proporzionale al quadrato della distanza

Ovviamente sappiamo che l'intensità del campo elettrico si mamma per costante suela circonferenza di raggio R

Posso definire il potenziale nel punto P mediante la procedura che abbiamo seguito come rapporto ^q/_Qter

Se invece di

ϵ = kL ⋅ q/a²

scriviamo

ϵ = kL = q/a²

Qual è la differenza?

Il campo elettrico è un vettore.

Il potenziale è uno scalare.

L’intensità del campo elettrico è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, il potenziale è inversamente proporzionale alla distanza immessa e quadrato nell’espressione.

Se la carica di partenza non è nell’origine del nostro sistema di riferimento, ma si trova in una posizione che è individuata da un certo vettore R₁, e per voglio andare a calcolare sempre nel punto p, posto a distanza R.

Posso andare a calcolare la differenza

Più devo spostare sempre quella carica R - R₁.

Il potenziale nel punto P che è individuato dal vettore R sarà quindi

q/a L(R - R₁)

V (R) = q/a L(R - R₁)

Potenziale di N cariche distribuite nello spazio

Se invece di avere una carica me ho N e voglio calcolare il potenziale in un certo punto di queste N cariche distribuite nello spazio.

Posso dire che V(_P) è uguale alla somma per i che va da 1 fino a N di q_i diviso 4πεε|_P-_i|. ^N V(R) = Σ ----—-—— q_{i i=1}           4πεε|_P-_i| Calcolo potenziale di N Cariche distribuite nello spazio Definizione importante: Il potenziale in un punto è la somma dei potenziali dovute alle singole cariche.

Configurazione dipolo elettrico

Ampliamo a considerare una configurazione particolare, cioè la configurazione di un dipolo elettrico

Utilizzeremo la formula V(_P) = Σ ----—-—— q_i per N=2            4πεε|_P-_i|

Configurazione dipolo elettrico

Il dipolo elettrico è costituito da due cariche uguali, ma di segno opposto che sono separate da una piccola distanza d e calcoleremo gli effetti elettrici apprezzabili in un punto P posto a distanza R, dove R deve abbiamo detto essere la distanza dal punto di osservazione.

d = distanza tra le due cariche che costruiscono il nostro dipolo

Potenziate nel punto P ^N V(_P) = Σ ----—-—— q_{i i=1}             4πεε|-_i| = = q ----—-—— ( 4πε          R_d    R₄ ) =

Se prendiamo le nostre due cariche ( + q e - q) e le mostro prima e a grande distanza, possiamo dire proprio per questo motivo cioè la distanza che i tre raggi:

• RR1
• R2

sono paralleli

v = ²/_ε1 ⁠dc(osϑ)

R2 ≅ R1 + dcosϑ

R1 - R2 ≅ R²

Se faccio la proiezione, questo è un triangolo rettangolo

R2 lo posso approssimare come R1 e questo pezzettino se questo è l/e queste sono parallele y dcosϑ

Se è punto P e la grande distanza posso fare questa approssimazione

R2 ≅ R1 + dcosϑ

e da questa poi ricavo le altre

Cominciamo dicendo che l'elementare Vi vale:

V(s) = (^q/_4πε) * (cosϑρq dcosϑ come lo posso scrivere?

Se dico che ^d/_r è un vettore, qdcosϑ non è altro che nq^d/_ouR(se lo faccio verticali