Parte 3: Fluidodinamica numerica per applicazioni industriali

Tecniche di accelerazione della convergenza per problemi stazionari

Quando la convergenza a raggiungere la soluzione stazionaria, ricavata con un numero minimo di passi temporali, è il rapporto in termini di operazioni da fare non è molto elevato, si hanno vantaggi notevoli anche in termini di tempi di calcolo.

I metodi time-dependent per problemi stazionari si sono in genere installati con un campo di moto non finito, questo può essere visto come un campo di moto ottenuto sovrapponendo perturbazioni non finite alla soluzione stazionaria.

Introduciamo che la soluzione da cui si parte sia la sovrapposizione della soluzione stazionaria finale con un certo numero di perturbazioni non finite di nostra nostra matrice numerica.

Alla luce di questo, il ruolo dello schema “time-stepping” (time-dependent) è nel risolvere di tali perturbazioni del dominio computazionale in modo da guidare il transitorio numerico verso la soluzione stazionaria.

Per problemi stazionari con approcci time-dependent il momento che si pone nella risoluzione non fino farlo alla soluzione numerica stazionaria del problema non vinto, e si deve intervenire in queste e in non oltre, di metodo non finita.

Dobbiamo cercare di ottenere in meno un fine veloce possibile la soluzione stazionaria con tecniche di accelerazioni alla convergenza.

Tecniche di accelerazione della convergenza per problemi stazionari

Qualora la convergenza a raggiungere la soluzione stazionaria, vincente con un numero minimo di passi temporali e la risposta in termini di precisione da fare non è troppo elevata, si hanno vantaggi notevoli anche in termini di tempo di calcolo.

I metodi time-dependent per problemi stazionari si sono in genere inizializzati con un campo di moto non finito, questo può essere visto come un campo di moto interno sovrapposto a perturbazioni non finiche alla soluzione stazionaria.

⇒ Immaginiamo che la soluzione da cui si parte non sia la conversazione della soluzione stazionaria finale con un certo numero di perturbazioni non finiche di natura nostra matrice numerica.

Alla luce di questo, il ruolo dello schema “time-stepping” (time-dependent) è nel esecuzione di tali perturbazioni dal continuo computazionale in modo da guidare il trasitorio numerico verso la soluzione stazionaria.

Per problemi stazionari con approcci time-dependent il momento che si pone nella inizializzazione non può portare alla soluzione numerica stazionaria del problema non permette di intervenire in questi e in non altri di metodi non finita.

⇒ Dobbiamo cercare di ottenere in numeri non più veloci possibile la soluzione stazionaria con tecniche di accelerazione della convergenza.

⇒ Quanto più veloce è l'espulsione delle perturbazioni, tanto maggiore è il tasso di convergenza dello sistema.

N.B. Gli schemi con discretizzazione spaziale e temporale dissociata hanno la bellanobile proprietà per cui la soluzione allo stato stazionario è indipendente dal time-step.

⇒ Tali schemi sono particolarmente adatti alle tecniche di convergenza remote per velocizzare la soluzione ne è quindi l'espulsione delle perturbazioni nel dominio computazionale.

Si hanno principalmente 3 metodi integrati tra per accelerare la convergenza degli schemi time-stepping di base:

• Local time stepping
• Multigrid
• Residual smoothing

Local time-stepping

Metodo molto interessante, solamente alla soluzione dello stato stazionario, ma più veloce essenzialmente alle perturbazioni fino quando raggiunta nuovamente localmente il time-step.

Δt = C Δtc

b) Il time-step viene calcolato cella per cella e ottenuto proporzionale al time-step concentrativo della cella stessa.

A un dato passo temporale non tutte le celle del dominio di calcolo possono accorciare alla stessa intervalle di tempo. Infatti uscirà essere automato ad un multiplo del proprio time-step concentrazione.

Dove il time-step locale è un compromesso fra i contributi di time-step convettivo e time-step diffusivo.

Δtc = _V / _{vf + nfhf}

_{Δtd = V}K_μ[(x_i + y_j) = (x_m + y_n) + (x_s + y_j)]

_{Δtl = MIN [Δtc, Δtd]}

Dove v_f, n_f, h_f sono i raggi associati alle matrice, focalizzarsi alla firma concentrazione e V è al volume della cella.

Il valore della costante C è in genere regolato al massimo numero CFL ammissibile per lo screening schema di time-stepping e t_c è una costante al cui vado è compreso fra 0.25 e 0.50.