Fluidodinamica numerica per applicazioni industriali - Tutta la teoria del corso

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Revisionato il 11/07/2026

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Il file contiene tutta la teoria del corso di Fluidodinamica numerica per applicazioni industriali tenuto dai professori Pacciani e Andreini.Esso è il risultato della rielaborazione delle …

Esame Fluidodinamica Numerica per Applicazioni Industriali

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pacciani Roberto

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2022-2023

68 pagine

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Appunti esame

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Estratto del documento

Navier Stokes

Formulazione conservativa

_dP_dt dv + ∫_A ρ ^u ⁿ dA = 0

Formulazione integrale

∫_v pdv + ∫_A ρ(^uⁿ)dA = ∫_v pdv - ∫_s pⁿdA + ∫_t qⁿdA

∫_v Edv + ∫_A pH(^uⁿ)dA = ∫_v g^sdv + ∫_t(^uⁿ)dA + ∫_A qⁿdA

Teorema della divergenza

∫_s ^FⁿdA = ∫_v ∇ ^F dv

Formulazione differenziale

_dp_dt + ∇(^uⁿ) = 0

_d ^u _dt + ∇ (^u x ^u) = ρg - ∇p + τ_d

^E _dt + ∇(pH) = ρg^v+(^t(^uⁿ)) + ∇^Q

La divergenza di un vettore è uno scalare e la divergenza di un tensore è un vettore.

Formulazione non conservativa

&sub>d_p_dt + ∇ ( ^uⁿ ) = &sub>d_{x_j} ⊂d_{x_j} + ⊂d_{d_t_{x_j}}

Derivata &dfrac; d^{&sup>x_jt_x^{f^d_{t_{x_t}}}}

Quindi : &sub>d_{r_{s_{d_t}}}Compatta risultante: = &dfrac;dp^dt + ρ ^{d^u_x}

Compattandola _{d_{u_{t_{ρ = _{d_{p_{t_{x_{s_u}}}}}}}}}

Sostituendola nel NS si ha una formulazione non conservativa: &dfrac;d^p&dfrac;d_{u_{x_{t^d_uⁱ}_u^L}_{uτ·n) dA + ∫_A q_n dA}}

Teorema divergenza

∫_S F·n dA = ∫_V ∇·F dV

Formulazione differenziale

_d⁄_dt + ∇ (ρv·n) = 0

_d⁄_dt ρv + ∇·(ρv×v) = ρ_g - ∇P + ∇τ

_d⁄_dt ρE + ∇(ρvH) = ρ_g·v + ∇·(τv) + ∇q

La divergenza di un vettore è uno scalare e la divergenza di un tensore è un vettore.

Formulazione non conservativa

Per passare dalla formulazione conservativa ad una non conservativa si deve usare l'equazione di continuità esprimendo le derivate:

_d⁄_dt + ∇ (ρv·n) = 0

Derivata _dt che è e è composta solo che P è funzione di X(t) e d_t e d_t

Quindi: _d⁄_dt v_i + f ∫_xxi 0 = 0

Compattandola risulta: _d⁄_dt = f ∫_xxi 0

Sostituendola nelle NS si ha tale formulazione non conservativa:

_d⁄_dt f ∫ 0 = 0
_dt ρ^dvⁱ + ρ ∫Pi^xxi = ρ_gi + ∫2ij^xxj
_dt ρE + Ui ^dH_dxj = ∫ui ∫i_xi + _{i_Ui}U_i

Il tensore degli sforzi

τ^is si definisce considerando fluido newtoniano:

τ_i,j = -³/_μ∇ ·V_δij + μ (^dv_i ^{dxj ^{+ dv_j}dx_i})

Gli sforzi di taglio sono ^× ^∇V (gradiente delle velocità).

Le formulazioni sono equivalenti a livello fisico ma non a livello numerico (nel caso comprimibile la formulazione non cons non tiene traccia delle discontinuità d'urto).

Formulazione vettoriale

Formulazione adottata per la risoluzione numerica. Si definiscono primi i vettori colonna:

Vettori variabili conservative
Vettore incognite
Vettori dei flussi non viscosi: flussi convettivi (1^o ordine)
Vettori dei flussi viscosi (2^o ordine)

Le equazioni di NS in un sistema cartesiano saranno:

Formulazione in un SDR curvilineo fisso

Adesso si vuole mappare il nostro sistema di equazioni vettoriali da un sistema invariante di coordinate cartesiane ad un sistema invariante di coordinate curvilinee generali:

Si nota che le coordinate non dipendono dal tempo.

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