Operazioni elementari e determinante di una matrice

Operazioni elementari sulle righe di una matrice

Li trasforma matrici complesse in matrici più semplici.

Ri_j: scambia la riga i-esima con la j-esima.

Ri(k): K≠0 Sostituire la riga i-esima con la stessa riga moltiplicata per k.

Ri,j(k): se K sommare alla riga i-esima la riga j-esima moltiplicato per k.

Esercizi

_(-6,3,0,0) – _(1,0,2,3) = _(-7,3,-2,-3)

_{z1 = x1 + 3z2 (0,0,1) + 3(-7,3,-2,-3) = (-21,9,-5,-8)}

Se A ∈ I^k_m×n e possiamo ottenere A’ da A, utilizzando un numero finito di operazioni elementari per righe diciamo che A e A’ sono equivalenti per righe.

Riduzione a gradini

Matrice a gradini

0 0 1
-7 3 -2 -3
1 0 2 3

Si crea visivamente una struttura a gradini la cui altezza è ≤ i riga ≠ la lunghezza arbitraria.

Se c’è una riga nulla questa deve stare sotto i gradini.

Forma generale di una matrice a gradini: a sinistra ci devono essere tutti 0 e al di sotto 0.

Operazioni elementari sulle righe di una matrice

L_E trasforma matrici complesse in matrici più semplici.

A _{∈ K^m×n}

R_i↔j: scambia la riga i-esima con la j-esima.

R_i(k): k≠0 Sostituire la riga i-esima con la stessa riga moltiplicata per k.

R_i,j(k): k≠k sommare alla riga i-esima la riga j-esima moltiplicato per k.

z_i = z_i + kz_j

Esercizi

(0,0,4,1)
(-1,0,2,3)

Se A e A' ∈ K^m×n e possiamo ottenere A' da A, utilizzando un numero finito di operazioni elementari, diciamo che A e A' sono equivalenti per righe.

Riduzione a gradini

Matrice a gradini

A = | 1 2 -1 1 | | 0 1 -4 2 | | 0 0 0 2 |

Si crea visivamente una struttura a gradini la cui altezza è ≤ 1 riga # la lunghezza arbitraria.

B = | 2 -4 1 0 | | 0 1 2 3 |

Se c'è una riga nulla questa deve stare sotto i gradini.

Forma generale di una matrice a gradini. Le prime colonne devono essere nulle per il fatto che si sta sotto 1 riga:

| * x x |
| 0 x x |

A sinistra devono essere tutti 0 e al di sotto.

Per ogni indice di riga i non nulla, esiste un indice di colonna j_i tale che a_i,ji ≠0 per ogni j_i ≤ j; a_i,j = 0 e j_i ≤ j₂ ≤...≤ j_p; gli elementi a_1,j1, a_2,j2,...,a_p,jp sono detti pivot.

Nota: una matrice quadrata a scalini è una matrice triangolare alta.

Esempio

( 4   1 )
( 1   3 )
R 2(1)
( 2   2 )
( 3   -1 )
R 1,2
( 3   1 )
( 0   1 )
R 2,4 (1)
( 1   4   2 0 )
( 3   1   2 0 )
( -1   -3   2  6 )
R 3,2 ( t, b)
( 1   2   0 )
( 0   -5   2 )

Teorema

Ogni matrice è equivalente ad una matrice a scalini che prende il nome di ridotta a scalini.

Algoritmo di riduzione a scalini

1. Usare le operazioni R_ij in modo da avere le righe nulle nelle ultime righe della matrice.
2. Trovare la prima colonna non nulla j_i e portare il primo elemento non nullo sulla prima riga (R_ij).
3. Utilizzare la prima riga e quindi a_i,ji per annullare tutti gli elementi di A_i sotto di a_i,ji (R_ij(k)).
4. Ripetere il procedimento i passi 1 e 2 sulle rimanenti righe, fino a quando non si ottiene nella colonna desiderata.
5. Per rendere i pivot = 1 usiamo R_ij(k) sulle righe non nulle, con k pari all'inverso dei pivot (matrice completamente ridotta).

Esempio

La prima colonna e anche seconda non nulla; uso equiv.

R_1,2( 6   30 )
( 2   10   3 )
( 2   -1 0 )
R_2,4( 1 )
( 0  0   0 )
R_1,4( 0 )
( 0  1   3 1 ) ( -4  -3 )

O completamente ridotta.

Determinante di una matrice

→ Si calcola solo per matrici quadrate.

A ∈ K^n,n

det(A) = |A| ∈ K

n=1   A = a ∈ K det(A)=a₁₁

h=2 matrice 2x2

A = a ∈ K^2,2

det(A) = (a.d) - (c.b)

Esempio

det ( ^2 1 ) = 4-6 = -2       3 q

det ( ^2 3 ) = 2 - (-12) = +14       q 1

Regola di Sarrus

h=3 Regola di Sarrus

A = ^{a₁₁ a₁₂ a₁₃  a₂₁ a₂₂ a₂₃  a₃₁ a₃₂ a₃₃}

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂
a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₁ a₂₂
a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂

det A = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂     - (a₁₃ a₂₂ a₃₁) - a₁₁ a₂₃ a₃₂ - a₁₂ a₂₁ a₃₃

Esempio

A=^{2 1 3  1 -1 4  0 1 2}⇒ det(A) = -4 + 0 + 3 - 0 -8 - 2 = -11

n > 3

Sia \(A ∈ \mathbb{R}^{n,n}\) \(A=(a_{ij})\)

i, j ∈ {1,...,n}

\( C_{ij}(A) = \) matrice ottenuta cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna.

\( C_{ij}(A) = \) si chiama matrice complementare dell’elemento di posto \( a_{ij} \).

\( C_{ij}(A) ∈ \mathbb{R}^{n-1,n-1} \)

Esempio

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

\( C_{12}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \)

\( C_{21}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Complemento algebrico di \( a_{ij} = A_{ij} = (-1)^{i+j} \det{(C_{ij}(A))} \)

Esempio

\( A = \begin{pmatrix} \cancel{3} & \cancel{-1} & 4 \\ -1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)

\( A_{ij} = (-1)^{1+1} \det{ \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} } = -2 - 4 = -6 \)

\( A_{32} = (-1)^{3+2} \det{ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} } = -(8-3) = -5 \)

Teorema di Laplace

Sia \(A ∈ \mathbb{R}^{n,n}\), il \( \det(A) \) è la somma dei prodotti degli elementi di una fissata riga o colonna peri relativi complementi algebrici.

\( A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

\( \det(A) = a_{11} \cdot A_{11} + a_{21} \cdot A_{21} + a_{31} \cdot A_{31} \)

\( = 2 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot (-1)^{2+1} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)

\( + 0 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \)

\( = 2[-2,-9] + (-1)[2-3] + 0 \)

\( = -12 + 1 = -11 \)

Nota: Applicare lo sviluppo dove ci sono più 0 \( A = \begin{pmatrix} 0 & \cancel{1} & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \hspace{10px} \text{Metodo di Sarrus} \)