Moto circolare

Serie: confronto confronto asintotico rapido rapido

Una serie in cui tutti i suoi termini sono > 0 è serie e loro potata.

∑_m=1^∞ - 1/m = - Σ 1/m

Serie geometrica

Serie geometrica: Σ_m=m0^+∞ q^m => |q| < 1 converge S_∞ = 1/1-q q ≥ 1 diverge +∞; q = -1 indeterminata

Serie armonica

Serie armonica: Σ_m=m0^+∞ 1/m^d d ∈ R => d > 1 converge d ≤ 1 diverge

Serie: Positivi: Confronto Confronto Asinto Molti Marmono Alterno: C. Conv. Ass. Leibniz

Una serie in cui tutti i suoi termini sono > 0 è serie e le sue parti.

\[\sum_{{m=1}}^{\infty} - \frac{1}{m} = - \sum_{{1}}^{M} \frac{1}{M}\]

Serie geometrica

Serie Geometrica:\[\sum_{{m=m0}}^{+\infty} q^m \Rightarrow\begin{cases} |q|

Serie armonica

Serie Armonica:\[\sum_{{m=m0}}^{+\infty} \frac{1}{m^d} \quad d \in \mathbb{R} \Rightarrow\begin{cases} d > 1 & \text{Converge} \\d \leq 1 & \text{Diverge}\end{cases}\]

Serie annua G.L.

1 Serie annua G.L. ∑_m=0^∞   1 / m^d(log m)^β   d, β ∈ ℝ → {

• D > 1   ∀β   conver.
• D < 1   β > 1   diver.
• D &equals; 1   ∀β   diver.
• D &equals; 1   β &equals; 1

Da esaminare

2D   do esaminare   ∑   1 / e^d∙mm^d(log m)^β   d, β, 0 ∈ ℝ {

• D > 0   conver.   ∀ d, β
• D &equals; 0   diver.
• D &equals; 0 (stesso grado)

Criterio di confronto

1. Criterio di confronto: (funzione potenze) ∑ a_m ≡ ∑ b_m   con a_m Τ b_m

• Se ∑ b_m comp. allora ∑ a_m comp.
• Se ∑ a_m diver. allora ∑ b_m diver.
• Se ∑ b_m diver. nulla si può dire su ∑ a_m

Calcolo dell'esempio numerico

2. Calcolo dell'esempio numerico: lim_m x m x ecc... l = lim_m a_m / b_m

• Se l ∈ ]0,+∞[ allora ∑ a_m converge ⇔ ∑ b_m converge
• Se l = 0, ∑ b_m converge allora anche ∑ a_m converge
• Se l = +∞ e ∑ b_m divergente allora anche ∑ a_m divergente

Esempio

Es. Σ_m=1^∞ (m³ + log m – m log m) / (e^2/m (log m)²)

• M³ + log m - m log m ≈ m³
• 5*m √(2/π^m) ≈ 2/m⁴
• E^2/m → 1
• (log m)²

c⁺ ∑_m=2^+∞ 1/m(log m)² d - 1 -> converge! β = 2

Criterio del rapporto

Criterio del rapporto: l = lim_n (a_n+1 / a_n) =>

• L < 1 convergente
• L > 1 divergente
• L = 1 X

Criterio della radice

Criterio della radice: l = lim_n (n√a_n) =>

• L < 1 convergente
• L > 1 divergente
• L = 1 X

Esempio

Esempio: ∑_m=1 M⁵ / e^m [log(1 + 1/e^m)e^m]^m

lim_m √a_m = lim_m √(M^5/m [log(1 + 1/e^m)]e^m)^m = lim_m→∞ log(1 + 1/e^m)e^m

lim_t→∞ (1 + 1/t)^t = e → L

lim_n→∞ M^5/m = lim_m e^{log M5/m} = lim_m e⁰ = 1

lim m→∞¹/_e · 1 = ¹/_e < 1

lim m^s_m

lim m→∞ (_am+1/_am)

∑_m=1^∞ (_m!)²/_m³(2m)!

l = lim m[(_m+1!)]² · ³(2m)!/_{(m!)³[2(m+1)]!} = lim m [_m!(m+1)]²/_{(m+1)³(2m+2)!} = (_m!)²(m+1)³/_(m!)³(m+1) = ¹/₄ < 1

Serie a segno alterno

Serie a segno alterno ∑_m=0^+∞   sm*m^m / 4 H   oppure   ∑_m=0^+∞ (c_-1)^m m! / m² + 11.

Criterio di convergenza assoluta

Criterio di convergenza assoluta: ∑ |bm| → convergenti (→ si studia la convergenza con i criteri operativi a segno positivo) se la serie converge → convergenza

Leibniz

Leibniz: Sia ∑_m=0^+∞ (-1)^m bm uno serie di segno alterno supponiamo che:

• Lim⁡ bm = 0
• {bm} → bm+1 ≤ bm monotono decrescente

Sotto tali condizioni la serie converge semplicemente!!!

∑_m=2^∞ (-1)^{m 1}/_{√log mⁿ}

|a_m| → ∑ ¹/_{√log m} = ∑ ¹/_{log m^1/2} = ¹/_{m⁰ log m^1/2}

d = 0, β1 ⇒ niente!

Inversa: lim ¹/_{m √log m} = 0 ✓

b_m+1 ≤ b_m ⇒ ¹/_√log(m+1) ≤ ¹/_{√log m}

√log(m+1) ≥ √log m ⇒ log (m+1) ≥ log m ⇒ m+1 ≥ m ^1≥0 ✓

Serie Lopè assoluto!!!

Serie di potenze

Serie di potenze: Sia {a_n} una successione in ℝ e sia x_o ∈ ℝ, la serie di potenze di coefficienti {a_n} e centro x_o è la funzione x → ∑^+∞_n=0 a_n(x-x_o)ⁿ definita nell'insieme D di tutti gli x ∈ ℝ per cui la serie è completa. D è detto dominio di convergenza.

Criterio di D'Alembert

Criterio di D'Alembert: Sia ∑_n=0^∞ a_n(x-x_o)ⁿ → l = lim ^|a_n+1|⁄_{| an |} = l

Allora R = { 0      se l = +∞ +∞   se l = 0 1/l    se 0 < l < +∞}

Criterio di Cauchy

Criterio di Cauchy: lim ⁿsqrt[n]{|a_m|} = l

Allora R = { 0      se l = +∞ +∞   se l = 0 1/l    se 0 < l < +∞}

Teorema di Abel

Teorema di Abel: Sia ∑_k=0^∞ a_n (x - x₀)^k una serie di potenze

(1) Se la serie converge puntualmente in x₀ + R allora essa converge in un intervallo chiuso e limitato contenuto in [x₀ - R, x₀ + R] ovvero (x₀ - R) → [x₀ - R, x₀ + R[

Esempio

Esempio: ∑_k=0^+∞ (√k - 1)^k x^k

∑_k=0^∞ a_n (x - x₀)^k

u_n = (√k - 1)^k con anche x₀ = 0

lim_k→∞ ^k√|a_n+1| = lim_k→∞ √[[(√k - 1)^k]^k] = lim_k→∞ |√k - 1| = 0

R = +∞ ⇒ ℝ