Moti unidimensionali elastici

Lezione del 02/05/2022

Moti unidimensionali elastici (non useremo i vettori)

Gli urti elastici si verificano quando durante l'urto non si verifica nessuna perdita di energia.

È complicato risalire al motivo per cui è stata persa un po' di energia, molto si deve imputare dell'eventuale deformazione di uno o di entrambi i corpi durante l'urto stesso.

Se il materiale è molle oppure flessibile si possono verificare degli urti anelastici dove una parte dell'energia viene persa nel momento in cui un corpo interagendo con l'altro va a cambiamenti, cioè modifica la sua forma e una certa quantità di energia viene trasformata in calore oppure assorbita per via delle deformazione.

Il corpo cambia forma, elimina una parte dell'energia in movimento proprio nella modifica della sua forma.

Avviene una modifica meccanica del nostro corpo e quindi una parte dell'energia viene persa.

Visto che negli urti elastici non si perde energia, quando c'è l'urto l'energia si trasforma.

Cominciamo a schematizzare le nostre condizioni di urto in maniera più precisa possibile.

Abbiamo un primo corpo di massa m₁ che ha una sua velocità. Per semplificare la notazione (oggi useremo non solo la conservazione della quantità di moto, ma anche la conservazione dell'energia), diremo che la velocità del primo corpo prima dell'urto che va a colpire un altro corpo e quello che succede è che il secondo corpo potrà viaggiare con una sua velocità v₂ (velocità che il corpo ha dopo l'urto), in maniera indipendente rispetto agli urti completamente anelastici, cioè quelli in cui i due corpi viaggiavano insieme.

Da opposte parte, dopo l'urto ci sarà il nostro primo corpo (massa m₁) che però avrà una velocità v_1f che sarà diversa da quella che aveva all'inizio perché una parte di energia è stata ceduta al secondo corpo.

Lezione del 02/05/2022

Moti unidimensionali elastici (non useremo i vettori)

Gli urti elastici si verificano quando durante l'urto non si verifica nessuna perdita di energia.

È complicato risalire al motivo per cui è stata persa un po' di energia, molto si deve imputare all'eventuale deformazione di uno o di entrambi i corpi durante l'urto stesso.

Se il materiale è molle oppure flessibile si possono verificare degli urti anelastici dove una parte dell'energia viene persa nel momento in cui un corpo interagendo con l'altro va a cambiamento, cioè modifica la sua forma e una certa quantità di energia viene trasformata in calore oppure assorbita per via delle deformazione.

Il corpo cambia forma, elimina una parte dell'energia in movimento proprio nella modifica della sua forma.

Avviene una modifica meccanica del nostro corpo e quindi una parte dell'energia viene persa.

Visto che negli urti elastici non si perde energia, quando c'è l'urto l'energia si trasforma.

Cominciamo a schematizzare l'urto riducendolo alla massima energia possibile.

Abbiamo un primo corpo di massa m₁ che ha una sua velocità v₁ per semplificare la notazione (oggi useremo non solo la conservazione della quantità di moto ma anche la conservazione dell'energia) diremo che la velocità del primo corpo prima dell'urto che va a colpire un altro corpo e quello che succede è che il secondo corpo potrà viaggiare con una sua velocità v₂ (velocità che il corpo ha dopo l'urto), in maniera indipendente rispetto agli urti completamente anelastici, cioè quelli in cui i due corpi viaggiano insieme.

Da questa parte, dopo l'urto ci sarà il nostro primo corpo (massa m₁) che però avrà una velocità v'₁ che sarà diversa da quella che aveva all'inizio perché una parte di energia è stata ceduta al secondo corpo.

Conservazione della quantità di moto

Scriviamo la nostra equazione per la conservazione della quantità di moto.

Prima dell'urto c'è un unico corpo in movimento (corpo m1), che avrà una velocità v_i, iniziale.

Subito dopo l'urto i due corpi hanno velocità distinte.

Il corpo m2 avrà una velocità ≠ 2 finale perché prima dell'urto non aveva nessuna velocità.

Dopo l'urto avremmo due velocità dei due corpi.

Inizialmente conosciamo la velocità del primo corpo (prima dell'urto).

Non saremmo in grado di trovare queste due velocità perché abbiamo solo un'equazione.

Per poter trovare queste velocità bisognerebbe o conoscerne una delle due oppure imporre una condizione riguardo l'urto stesso.

La condizione che andremo ad introdurre sarà la conservazione dell'energia cinetica.

Diremo che l'energia cinetica iniziale dovrà essere uguale alla somma delle energie cinetiche dopo l'urto.

Avremo due equazioni e due incognite (velocità dei due corpi dopo l'urto) per risolvere il problema.

Stiamo considerando il caso in cui il primo corpo prima dell'urto è in movimento e il secondo è fermo.

Cosa succederebbe se anche il secondo corpo fosse in movimento?

Anche utilizzando b₂ non potremmo sapere questa la velocità del secondo corpo prima dell'urto almeno che non ci venga dietro.

Potremmo sempre le velocità di entrambi i corpi dopo l'urto, ma dovremmo conoscere le due velocità dei corpi prima dell'urto.

Potremmo considerare anche il caso in cui il secondo corpo aveva una certa velocità prima dell'urto.

Per poter avere un urto i. i due corpi devono possedere delle velocità di segno opposto i rinimenti potrebbero rimanere separati per tutta la durata dell'evento (tranne se un corpo è più veloce di un altro).

Quando facciamo le prove, dovremmo scrivere le nostre equazioni e poi dare delle condizioni iniziali che ci diano la possibilità di avere un urto:

• Corpo capace di raggiungere l'altro.
• Hanno velocità con segno opposto=urto.

Velocità dopo l'urto nel caso in cui solo il primo corpo è in movimento

Abbiamo il 1° corpo in movimento e il 2° fermo prima dell'urto.

Stiamo utilizzando una condizione supplementare, cioè stiamo assumendo che durante l'urto non perda nessuna quantità di energia.

Esercizio

Urto anelastico, però i due corpi viaggiano separatamente.

In questo caso si possono scrivere le equazioni utilizzando solo la conservazione della quantità di moto: m₁v_1i = m₁v_1f + m₂v_2f.

Non possiamo dire che si stia conservando energia cinetica.

Per poter fare il calcolo, dato che avremmo due incognite, dovremmo dare come dato del problema il fatto che il secondo corpo abbia una certa velocità.

Sarebbe strano che il secondo corpo abbia una velocità maggiore rispetto a quella che aveva il primo prima dell'urto.

4\mu m₁ = 6 _m/s colpisce il m₂ quando è fermo e sappiamo che durante l'urto si perde una certa quantità di energia inorm è possibile che m₂ parta con una velocità estremamente maggiore se le masse dei due corpi sono uguali.

Inoltre m1 avrà perso una quantità elevata di energia perché 2 l'ha trasmessa al secondo e una parte è andata persa.

Ritorniamo al nostro esempio e andiamo a vedere come si possono risolvere le due equazioni per ottenere nel caso elastico le velocità dopo l’urto.

E' opportuno porre una definizione.

Andremo a scrivere:

m₂₁ = -m₂ m₁{v₁g = v_i + m₂₁ v₂ gv₃i ² = v_i g ² + m₂ v₂ g ²{v₄g = v_i - m₂₁ v₂ gv₄i = v_i + m₂ v₂g{v₄g = v_i - m₂₁ v₂ g⇒{m₂ 1 = (m₂ v₂ g²) + m₂₁ v₂ g⇒{v₄g = v_i - m₂₁ v₂ g =0{m₂1 = v₃ (m₂1 v_4i g) - 2v₄ i =0⇒{v₂g = 0 ∨ v₂g = (m₂₁ v_3i) =0soluzione ovviamente non ci serve⇒{v₄g = v_i - m₂₁ v₂ g =0v₂g = 0 ∨ v₂g = (v₂₁ + 2v₁ i =0m₂₁ + 1 ⇒v₂g = 0 ∨ v₂g = (2v₁i la velocità del secondo corpo dopo l’urto è peggio avere la velocità del primo corpo e delle masse dei due corpi m₂₁ + 1 = 0v₂g = 0 ∨ v₂g = (2v₁im₂₁ + 1v_1g = v_1i ( ^{1 - m₂₁}⁄_{1 + m21})v_2g = ^{2 v_{4 i}}⁄_{1 + m21}m₂₁ = ^m₂⁄_m1v_{S1 i} = v_{S1 f} + m₂₁ v_{S2 f}v_{S2 i} = v_{S2 f} + m₂₁ v_{S2 f}v_{1 f} = v_{1 i} - m₂₁ v_{2 g}v_{2 f} = ^{2 v_{1 i}}⁄_{1 + m21}.

Casi di urto elastico

Cosa succede quando abbiamo questi corpi che interagiscono con un urto elastico?

{v_1f = v_1i (1 - m₂/1 + m₂)v_2f = v_2i 2/1 + m₂.

Caso 1: m₁ = m₂ => m₂ = 1{v_1f = v_1i (1 - 1/1 + 1).

La velocità del primo corpo dopo l'urto sarà nulla v_2f = v_2i 2/1 + 1.

La velocità del secondo corpo dopo l'urto sarà uguale alla velocità del primo corpo prima dell'urto=>{v_1f = 0v_2f = v_1i{m₁ v_1i}{m₂ v_3i} {m₁ v_3i}Ec_c⁽²⁾ = Ec_c⁽¹⁾ perché v₂ dopo l'urto = v₁ prima dell'urto.

Nel "prima" avevamo il nostro corpo m₁ con una velocità v_1i e poi m₂ che era fermo.

Nel "dopo" urto sarà che il corpo m₂ è fermo, il corpo m₂ ha una velocità v₂ = velocità del primo corpo prima dell'urto.

Se i due corpi sono uguali: dopo l'urto il primo corpo si ferma e il secondo parte con la stessa velocità che aveva il primo prima dell'urto.

È come se il primo corpo trasferisse tutta la sua energia cinetica al secondo corpo (se le due masse sono uguali).

Caso 2: m1 = 2m2=> il primo corpo abbia massa doppia rispetto al secondo.

v_1g = v_1i^{1 - m2m1}/_{1 + m2m1}v_2g = v_1i²/_{1 + m2m1}=>v_1g = v_1i^{1 - 1/2}/_{4 + 1/2}v_2g = v_1i²/_{4 + 1/2}.

La velocità del primo corpo dopo l'urto sarà...

v_1g = v_1i/3v_2g = 4/3 v_1i.

m1 era in movimento con la velocità iniziale ...

m2 era fermo...

Dopo l'urto, m1 avrà una velocità più piccola (...), m2 avrà una velocità maggiore...

Il primo corpo, nonostante abbia ceduto un elevato quantità di energia...

Es. Auto molto grande colpisce un auto molto...

Prendendo il nostro esempio, calcoliamo l'energia cinetica.

Caso 1: 2m1 = m2 = 2.

Il primo corpo ha la metà della massa del secondo.

È come se volessimo colpire un corpo più grande con una massa più piccola...

Il secondo corpo si muoverà, però per il vincolo il primo corpo tende a indietreggiare.

È come se rimbalzasse verso dietro, il primo corpo non continua nella stessa direzione, ma tornerà indietro!

Il secondo corpo si mette in movimento però avrà una velocità inferiore a quello che era la velocità del primo corpo prima dell'urto.

Prima dopo.

Caso limite: m1 << m2 => m21 = m2/m1 -> ∞.

Nel caso dell’urto anelastico avevamo solo la conservazione della quantità di moto: m1vai = (m2+m1) v_f = m1 vai = m2( m2 + t1) v_f = 0 v_f = vai/(m21+1).

Vediamo cosa succede nel caso elastico{ v2f = vai (1-m21)/(1+m21) = m21( (1/m21)/(1/m21)+1) vaiv2f = vai ( 2/1+m21) caso limite: massa del primo corpo è infinita rispetto a quella del secondo (TODO).

Urti bidimensionali

Caso che non metterà allo scritto: urti bidimensionali.

Il primo corpo colpisce il secondo con diverse posizioni dei due corpi.

Supponiamo di avere un primo corpo (palla) e questo vada a collidere con una seconda palla. Tracciamo i centri delle due e disegniamo delle linee. L'urto dipenderà dallo distanza fra i centri dei due corpi. Il corpo di sinistra sta colpendo il corpo di destra e si potrà analizzare l'urto in base alla distanza tra i due oggetti che viene indicata con b. A seconda di b possiamo avere urti diversi:

• B = 0 ➔ urto unidimensionale.
• B = diametro di uno o dei due corpi (2r) = l'urto perché i due corpi si colpiscono.

Il caso più generale di urti che possiamo trattare è quello in cui l'urto è bidimensionale tra i due centri delle particelle, sia minore di 2r.

Se:

• B = 0 o b = 2r.
• Urto unidimensionale. Nessun urto.

1° caso.

m₁V_1,i + m₂V_2,i = m₁V_1,f + m₂V_2,f.

1/2 m₁V_1,i² + 1/2 m₂V_2,i² = 1/2 m₁V_1,f² + 1/2 m₂V_2,f².

2° caso.

Conservazione quantità di moto.

1^o caso:

Il primo corpo colpisce il secondo corpo (il corpo m2 è fermo).

La velocità del secondo corpo prima dell’urto sia nulla.

Il primo corpo avrà una velocità finale che forma un certo angolo con quella del secondo corpo (v_2f). Avremo un angolo θ₁ e un angolo θ₂.

Dovremo scrivere la prima equazione in forma di componenti, cioè quello che succede lungo x e lungo y.

(1h:52m)

Rotazione e momento di una forza

Nel momento in cui parliamo di conservazione della quantità di moto e di conservazione dell’energia, stiamo considerando delle trasformazioni, cioè sistemi di particelle che interagiscono tra di loro in un’interazione rettilinea.

Abbiamo parlato della prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi precisando che è legata al movimento del centro di massa su spostamenti di tipo rettilineo.

Il passo successivo è considerare quando i nostri sistemi tendono a ruotare.

Il caso è interessante quando si parla di semplici rotazioni di corpi puntiformi o corpi che possono essere considerati sistemi estesi (composti da un certo numero di corpi puntiformi o composti).

Per poter parlare di rotazione bisogna passare dalle forze che agiscono lungo direzioni ben specifiche ai momenti delle forze.

Momento di una forza.

Situazione in cui abbiamo un sistema di riferimento, dove si trova un corpo singolo posto in una specifica posizione che identifichiamo tramite →.

Nel momento in cui m è vincolato a muoversi intorno ad un polo/asse di rotazione perpendicolare al piano che stiamo considerando, si può avere una forza che agendo sul nostro corpo tenderà a metterlo in rotazione.

La situazione che abbiamo appena descritto si può identificare introducendo il momento della forza (→ × rsub> →F.

Vettore posizione.

Braccio della forza.

Quando il nostro corpo è vincolato ad una distanza fissa dall’origine, cioè dal punto attraverso cui passa l’asse di rotazione. Se non cambia e applichiamo una forza, il corpo sarà costretto a ruotare a causa del momento della forza applicato al corpo.

Si potrebbe parlare di un momento a seconda di come sarà l'angolo tra il vettore r̅e F̅.

Per poter definire un angolo, bisogna andare a traslare r̅ nello stesso punto di F̅ e definire θ che è quello formato da r̅ rispetto a F̅.

Se si parla di prodotto vettoriale, il modulo del prodotto vettoriale sarà dato da: |Γ̅|=|r̅| |F̅| |sinθ|.

Se θ=0, |sinθ|=0, non esiste un momento, cioè il corpo non ruota, ma tende ad andare dritto nella direzione della Forza.

Se θ=90°, θ_=^π/₂ => |r̅|=r, |sinθ|=1.

Potremmo identificare il moto rotato di un corpo (moto circolare).

Quando un corpo di massa m ruota rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano potrebbe essere dovuto al fatto che agisce una forza F̅ che è perpendicolare a r̅.

Quello che sta producendo il moto è il momento applicato alla massa e in questo caso specifico stiamo considerando la possibilità che la forza formi un angolo pari a ^π/₂ con il vettore posizione lungo il suo raggio (angolo di 90°).

Come potremmo scrivere la rotazione del nostro corpo di moto circolare come provocata da un momento invece che da una forza?

|Γ̅|=|r̅| |F̅| |sinθ|.

θ=0=>|r̅|=0.

θ=90°=>|r̅|=rF momento della forza F braccio della forza.