Metodo diretto - Appunti Tecnica delle costruzioni

Metodo diretto

Adesso dobbiamo generalizzare quanto appena detto. Per una qualsiasi struttura possiamo scrivere le equazioni di equilibrio in questa forma matriciale. I movimenti possono essere sia rotazioni che traslazioni.

Esempio

Vogliamo ricavare il sistema delle equazioni di equilibrio di questo telaio. Capire quali sono i gradi di libertà. Dobbiamo guardare il nodo A e B perché gli altri nodi sono incastrati quindi sicuramente non ci sarà movimento e per di più sono nodi esterni. Non sto pensando ad una trave rigida e quindi sicuramente i nodi A e B potranno ruotare.

La struttura è simmetrica ma non è caricata simmetricamente ma antisimmetricamente. Potrei solo studiare metà parte della struttura per semplificare i calcoli ma ora vogliamo ragionare su. Gli altri movimenti sono la traslazione dell'asta AB. In genere si trascurato la deformabilità assiale delle aste. Cioè le aste non si possono accorciare o allungare e quindi i movimenti di A e di B in orizzontale devono essere necessariamente uguali. In definitiva:

Applicare il metodo dei vincoli ausiliari. Devo quindi bloccare tutti i movimenti. Tutte e quattro le aste si trovano in uno schema di doppio incastro. Mettiamo in evidenza tutte le reazioni sia dei vincoli olinnreali che di quelli ausiliari.

Abbiamo disegnate le reazioni che dobbiamo avere alle estremità di ogni asta che possono essere date solo dal vincolo ausiliario che è il carrello, quindi se sommo le 4 frecce avrò la reazione del carrello. Diamo dei nomi ai 3 movimenti:

• Decidiamo poi una convenzione di positività
• Scriviamo il vettore delle reazioni di incastro perfetto (reazioni dei vincoli ausiliari) secondo questa convenzione di positività:

Noi sappiamo che il nostro sistema di equazioni sarà. Abbiamo sistemato F. Dobbiamo trovare la matrice di rigidezza (K). Pensiamo a come si scrivono in generale le equazioni di equilibrio nel metodo delle deformazioni. Scriviamo in esplicito K. Questa è la relazione in generale tra matrice di rigidezza, movimenti e forze.

Nel metodo diretto si applicano dei movimenti predefiniti in modo che le forze che devo applicare alla struttura per avere quei movimenti siano facili da calcolare facendo riferimento a degli schemi notevoli e quelle forze corrispondono ai termini della matrice di rigidezza:

Quando definisco la matrice di rigidezza non mi interessa com'è caricata la struttura ma mi interessa solo la geometria e le caratteristiche delle aste. Se io alla mia struttura applico. Innanzitutto vuol dire che in B non devo avere rotazione (metto un morsetto) e non devo avere traslazione (carrello). L'unico movimento che ho diverso da zero è la rotaz