Metodo automatico

Metodo automatico

Affrontiamo ora il calcolo della matrice di rigidezza con il metodo automatico. Essendo un metodo un poco più automatizzato rispetto al metodo diretto, si presta meno al calcolo manuale e si presta di più a un calcolo fatto con il computer. È un po' quello che fanno i programmi di calcolo.

Differenze con il metodo diretto

• In questo approccio si considerano inizialmente tutti i gradi di libertà della struttura considerata, cioè si ragiona come se il vettore dei movimenti possibili contenesse tutti i movimenti possibili, anche quelli vincolati, poi si impone successivamente che siano nulli.
• Nel telaio in figura, con il metodo diretto avremmo considerato 8 movimenti possibili (2 orizzontali e 6 rotazioni). In questi casi, invece, consideriamo 3 movimenti possibili per ogni nodo.
• In questo metodo non trascuriamo la deformabilità assiale.

Ci ritroviamo quindi che gli spostamenti orizzontali dei nodi che si trovano sullo stesso piano possono essere diversi, così come possiamo avere dei movimenti verticali associati alle deformazioni assiali dei pilastri. La struttura quindi ha nel complesso...

Però noi scriveremo un sistema dove mettiamo 27 equazioni, alcune di queste hanno come incognite le reazioni dei vincoli e altre i movimenti associati ai 19 movimenti liberi. Questa struttura può essere caricata con carichi distribuiti lungo le aste e anche con forze generalizzate applicate ai nodi.

Sistema di riferimento

Poi fissiamo un sistema di riferimento globale. Poi:

In questo metodo analizziamo prima ciascuna asta con un suo sistema di riferimento locale. Numeriamo i movimenti di ogni estremità dell'asta. La prima cosa che si fa anche in questi casi è usare il metodo dei vincoli ausiliari, quindi vincolare i movimenti all'estremità delle aste.

Chiaramente se noi blocchiamo tutti i movimenti lo schema notevole a cui si riconduce la generica asta è quella di asta doppiamente incastrata. Per questo motivo si parla di reazioni di incastro perfetto:

Per la generica asta, quindi, definiremo un vettore che contiene le reazioni di incastro perfetto (che sono chiaramente definite nel sistema di riferimento locale):

Calcolo della matrice di rigidezza

Ragioniamo ancora sulla singola asta. Ci calcoliamo la matrice di rigidezza della singola asta che avrà dimensioni 6×6 (6 movimenti possibili, 3 da una parte e 3 dall'altra).

Per calcolare la matrice di rigidezza usiamo il metodo diretto. Impostiamo quindi diverse deformate in cui solo un movimento è unitario e tutti gli altri nulli. Le forze che dobbiamo applicare all'estremità della trave per avere questa condizione corrispondono a una colonna della matrice di rigidezza. Usiamo quindi la definizione di rigidezza Kij.

Se l'asta è lunga L e le proprietà del materiale siano:

La forza che devo applicare per avere uno spostamento orizzontale è:

Quindi in questo caso, per calcolare la rigidezza, sto imponendo una variazione di lunghezza pari a 1. Se: Questa è la forza che devo applicare per avere una...