Metodi matematici - Appunti ed esercizi parte 2

Revisionato il 19/07/2026

di Mariao

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Appunti presi a lezione al corso di metodi matematici tenuto dal prof. Lisini. - Parte 2.Gli appunti sono divisi in due parti a seguito della grandezza dei file.In caso si volesse una maggiore …

Esame Metodi matematici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Lisini Stefano

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2019-2020

57 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Formule matematiche e analisi

Integrazione e funzioni periodiche

Se u è pari allora _bk = 0, se u è dispari allora _ak = 0.

∫₀¹ (1 + t ) cos(kπt) dt = [ (1 - t) ^sen(kπt)/_kπ ]₀¹ - ∫₀¹ ^{(1 - t) sin(kπt)/_k} dt == - _cos(kπ)/^(kπ)² ¹₀ = - _{cos(kπ) + 1}/^(kπ)² = _{(-1)^k + 1}/^k²π²

u(t) = e^t per t ∈ [0,2π] prolunga 2π-periodico

û_k = ₁/^2π ∫₀^2π e^t e^-i_kt dt = ₁/^2π ∫₀^2π e^(1-i_k)t dt == ₁/^2π [ _{e_{(1-i_k)t}}/^1-i_k ]₀^2π = ₁/^2π _{e_{(1-i_k )2π} - 1}/^1-i_k = = ₁/^2π _{e^2π - 1}/^1-i_k - (_{e^2π - 1})₁/_2π ¹/_{1-i_k}

1 + ik = _{e^2π - 1}/^2π ^1+i_k + _{e^2π - 1}/^2π ( ₁/^1+i² c^k 1+i_k)

a_k = 2 Re û_k = _{e^2π - 1}/^π ₁/^1+i²

b_k = -2 Imm û_k = _{1-e^t k}/^π ₁/^{1+^k²}

a₀ = û₀ = _{e^2π - 1}/^2π

⇒ Σ_u(t) = _{e^2π - 1}/^2π ∑_k=-∞^∞ _1+i^k/_{k² - 1} e^i_{k_t}

Calcoli specifici

Es. Calcolare Σ_u(0) = Σ_u(2π) = Σ_u(kπ)

Se u è pari allora b_k = 0, se u è dispari allora a_u = 0.

∫₀¹ 2[¹/₂(1 + t)cos(ktπ) dt = [ (1 - t)^sen(ktπ)/_ktπ]|₀¹ - ¹/_π² ∫₀¹(^-1/_k)^sin(ktπ)/_ktπ dt = [^-cos(ktπe/_(ktπ)²]|₀^-1 = ^{-cos(ktπ) + 1}/_(kπ)² = ^{(-1)^k + 1}/_k²π²

u(t) = e^t per t∈[0,2π) prolung. 2π-periodico

û_k = ¹/_2π ∫₀^2π e^t e^-ikt dt = ¹/_2π ∫₀^2π e^(1-ik)t dt == ¹/_2π [_e^(1-ik)t/^1-ik]|₀^2π = ¹/_2π[_{e^(1-ik)2π-1}/^1-ik]= ¹/_2π [_e^2π-1/^1-ik - _(e^2π-1)/^2π ₁/_1-ik ₁/^{1-ik + _ik]}

= ^{e^2π-1}/_2π[₁/_1+ik² + _ik]= ^{e^2π-1}/_π ¹/_1+k²

b_k = -2 Imm û_k = ^{1-e^tk}/_{π 1+k²}

a₀ = û₀ = ^{e^2π-1}/_2π

→ Su(t) = ^{e^2π-1}/_2π Σ_k=-∞^+∞_1+ik/_k²-1 e^ikt

Serie di Fourier e trasformate

Serieu : R → C_T T-periodico ω_o = 2π/T

û_k = 1/T ∫_-T/2^+T/2 u(t)e^{-ik2π/T t} dt

u(t) = ∑_k=-∞^+∞ û_k e^{ik2π/T t} == lim_N→+∞ ∑_k=-N^+N û_k e^{ik2π/T t}

Trasformate
eu : R → C segnale limitato non periodico

Definiamo una

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