Metodi

Spazi vettoriali a dimensione infinita

È ovviamente possibile verificare che uno spazio vettoriale V è a dimensione infinita mostrando che ∀ n ∈ ℕ esistono vettori di V linearmente indipendenti (ovviamente il numero di vettori di un sistema linearmente indipendente non può essere superiore alla dimensione dello spazio).

Esempio: ([a,b]) ≡ I polinomi reali a variabile reale x ∈ [a,b]. In questo caso, ∀ n ∈ ℕ, possiamo considerare i polinomi 1, x, …, xⁿ; i n+1 elementi di ([a,b]) linearmente indipendenti.

Problema: Studiare spazi vettoriali a dimensione infinita finisce comunque implica la necessità di^*

Spazi vettoriali a dimensione infinita

È ovviamente possibile verificare che uno spazio vettoriale V è a dimensione infinita mostrando che ∀ n ∈ ℕ esistono n vettori di V linearmente indipendenti (ovviamente il numero di vettori di un sistema linearmente indipendente non può essere superiore alla dimensione dello spazio).

Esempio: ℝ[a,b] ≡ I polinomi reali di variabile reale x ∈ [a,b]. In questo caso, ∀ n ∈ ℕ, possiamo considerare i polinomi 1, x, ..., xⁿ nei elementi di ℝ[a,b], linearmente indipendenti.

Problema: Studiare spazi vettoriali a dimensione infinita fornisce comunque implicazioni necessarie di❝cammino sistoli di geometri, e eventualmente beni, che consentono di un numero infinito di rette. Che cosa vuol dire "contenere l'insieme" infinito vette"?

Elementi di topologia in spazi vettoriali

V = spazio vettoriale normato.

Definiamo distanza tra due vettori d(x,y) ≡ ||x - y||

d(x,y) ≥ 0 e = 0 ⇔ x = y

d(x,y) = ||x - y|| = ||y - x|| = d(y,x)

d(x,y) = ||x - z + z - y|| ≤ ||x - z|| + ||z - y||

d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)

Conseguentemente

Data una successione di vettori {x_n}, {y_n}, porremo:

lim_n→∞ x_n = x ⇔ lim_n→∞ d(x_n,x) = 0

lim_n→∞ ||x_n - x|| = 0 ⇔ ∀ε>0 ∃σ∈ℕ: ∀n>σ, ||x - x_n||

Successione fondamentale (di Cauchy): ∀ε>0 ∃m∈ℕ: ∀n,m'>m_ε d(x_m,x_m') = ||x_m - x_m'||

Successione limitata: ∃R>0: ||x_n||≤R, ∀n∈ℕ.

Catena di implicazioni

\[x_n\] convergente \[\Rightarrow x_n\] non di Cauchy \[\Rightarrow x_n\] limitato

1. Dato \(\varepsilon > 0\) \(\exists \varepsilon /2 \in \mathbb{E}\) tale che \(\forall n > n_{\varepsilon/2}\) d\((x,x)\)

\(x = \lim_{n \to \infty} x_n\)

Posto \({m} \in \mathbb{E} \varepsilon/2\), \(\forall m,m' > m\) si ha d\((x_m, x_{m'}) \leq\) d\((x_m,x) + d(x, x_{m'})\)

Esistenza \(\varepsilon > 0\) \(\exists m \in \mathbb{N}\) tale che, \(\forall m',m'' > m\), d\((x_{m'}, x_{m''})\)

Poniamo \(\bar{m} > m \varepsilon\). Allora, \(\forall m > m \bar{x}\) \((x_m) = \|(x_n - \bar{x}) + x_{m'})\) { Et ‖xₘ‖. Basta porre, allora, Rω = max{ ‖xₘ1‖, ‖xₘ2‖, ..., ‖xₘm‖, εt ‖xₘ‖ }, per verificare la limitatezza di xₘξₘω.

Viceversa

• Xₘξₘω limitato × xₘξₘω di Cauchy (basta porre, in R, xₘ = (-1)ⁿ)
• Xₘξₘω fondamentalmente × (in generale) xₘηₘξₘω convergente.

Se vale l'implicazione (cioè, x vale il criterio di convergenza di Cauchy) lo spazio si definisce completo.

NB La completezza dipende dello spazio e di ‖‖.

Spazi euclidei di dimensione finita

Ogni spazio Euclideo di dimensione finita è completo nelle norme indotte dal prodotto scalare.

Sia V Euclideo di dimensione n e sia {v₁, ..., v_n} una base ortonormale in V.

Sia x^(m) una successione di vettori di V con x^(m) = ∑_i=1ⁿ ξ_i^(m) v_i.

ξ_i^(m) = (v_i, x^(m)). Supponiamo x^(m) fondamentale: ∀ε>0 ∃ m_ε ∈ ℕ tale che ∀ m, m' ≥ m_ε ‖x^(m) - x^(m')‖ = √(∑_i=1ⁿ |ξ_i^(m) - ξ_i^(m')|²) < ε

Questo comporta i quali ∀ i, ε' > 0, ∃ m_i ∈ ℕ |ξ̄_j^(m) - ξ̄_j'^(m')| ≤ √∑_i=1ⁿ |ξ̄_i^(m-1) - ξ̄_i^{(m' - 1)}|² < ε ⇒ ∫ ξ̄_j^(m) ⎡m ⎤ fondeencebele (in d).

Abbiamo dimostrato che D