Meccanica razionale - Statica

Lavoro di un sistema meccanico

Lavoro di un sistema di forze applicate ad un sistema meccanico olonomo e forze generalizzate di Lagrange

Per un sistema meccanico soggetto a vincoli olonomi fissi si dimostra che:

_dL = _∑^N_k=1 F_k · dp_k spazio fisico

dove q₁, q₂, ..., q_n sono coord. Lagrang., n gradi di libertà spazio configuraz. es(2 dimens.)

Def Q_i = _∑^N_k=1 F_k · _∂pk^∂q_j ⇨ _dL = _Q · dq

Se le forze applicate al sistema meccanico olonomo sono conservative Q_s = ∂UToT / ∂ qs

Dall'esempio di prima, per OA la forza generalizzata di Lagrange è Q = dJ / dθ = -3mgLsenθ - 4kL²senαcos(θ+α)

Lavoro virtuale di un sistema di forze applicate ad un sistema meccanico a vincoli olonomi

Lavoro di un sistema meccanico

Lavoro di un sist. di forze applicate ad un sistema meccanico olonomo e forze generalizzate di Lagrange

Per un sistema meccanico soggetto a vincoli olonomi fissi si dimostra che:

dL = _k=1^N∑ ⇀F_k · dp_k

dove q₁, q₂, ..., q_n sono coord. lagrang. m gradi di libertà

Def _k=1^N∑ ⇀F_k · ∂p_k / ∂q_j dL = ⇀Q · dq

Se le forze applicate al sistema meccanico olonomo sono conservative ⇀Q = ∂U_tot / ∂q_j

Dall'esempio di prima, per OA la forza generalizzata di Lagrange è ⇀Q = dU₀ = -3mgLsenϑ - 4kL²senϑcosϑ + α

Lavoro virtuale di un sistema di forze applicate ad un sistema meccanico a vincoli olonomi (e fissi)

δL = Q · δq

Vediamo i principi della dinamica

• I^o principio: Sistema di riferimento inerziale
• II^o principio: m · a = F
• III^o principio: Le forze interne ad un sistema meccanico formano coppie di braccio nullo

Postulato delle reazioni vincolari

L'azione di un vincolo su un pt. materiale può essere sempre descritta matematicamente da una forza detta reazione vincolare

NOTAZIONE: Indicheremo le reazioni vincolari con la lettera φ

Rotolamento

Def ROTOLOAMENTO

Due superfici S₁ e S₂ (o 2 curve) rotolano l'una sull'altra. Se ad ogni istante di tempo nei punti di contatto hanno in comune il piano tangente, il vettore (tangente).

Def ROTOLOAMENTO PURO (SENZA STRISCIAMENTO)

Si parla di rotolamento puro o senza strisciamento o senza trascinamento un rotolamento in cui: →v^(t)_C = 0 => →v^(ω)_C = →v^(ξ)_C

Vediamo il caso di due curve che rotolano senza strisciare

→v^(ω) = r(ω) ^ n →v^(ξ) = s(ξ) T →v^(ξ)_C = s'(ξ) T versore tangente in comune per rotolamento s^(ω)(t) = s^(ξ) (t)

∫₀^ts^(ω)(t) dt = ∫₀^ts^(ξ) (t) dξ => archi uguali vengono percorsi in tempi uguali

Esercizio

Disco omogeneo (R, m). Rotola senza strisciare sull'asse x quando θ = 0 ; c = 0

OG = ? v_g = ? ω = ?

C₀C = 1 OCRθ = 1 OCOG = (Rθ, R, 0) v_g = dOG/dt = (Rθ̇, 0, 0)

per la legge di distribuzione delle velocità v_g = x' + ω ∧ c_g c_g = (0, R, 0) ω = βk̂ = -θ̇k̂ ω ∧ c_g = | î ĵ k̂ | | 0 0 β | = -Rβî | 0 R 0 |

Rθ̇î = v_g = ω ∧ c_g = -(Rβî) → Rθ̇ = -(Rβ) ⇒ β = -θ̇

Cinematica dei sistemi vincolati

Def. VINCOLO

Un vincolo, in meccanica, è la restrizione delle possibilità di moto di un sistema meccanico. Vediamo la classificazione dei vincoli:

• FISSI: Vincoli che non variano nel tempo es: porta, pavimenti, binari del treno
• MOBILI: Vincoli che variano al variare del tempo es: ascensore, uno scambio ferroviario, ponte in movimento
• OLONOMI: Vincoli che indicano le posizioni, ma anche le velocità e spostamenti infinitesimi es: pavimento, binari del treno
• NON OLONOMI: Vincoli che limitano le velocità e gli spostamenti infiniti ma non le pos. es: pattinaggio rotto

Studieremo soltanto i vincoli olonomi. Per questi vincoli è sempre possibile individuare variabili scalari indipendenti in numero finito che permettano la descrizione del moto. Queste variabili sono dette gradi di libertà.

Esempio: Sistema olonomo