Meccanica razionale

Meccanica razionale

Sofia Gregorio, anno 20-21.

Vettori

Teoria dei vettori

Fisiche grandezze scalari: grandezze individuate da un solo valore numerico, p, t, °M, ecc.

Grandezze vettoriali: grandezze caratterizzate, oltre che da un valore numerico, da una direzione e un verso, come forza e velocità.

Segmenti orientati

Un segmento orientato AB è un segmento in cui viene definito un verso di percorrenza da A verso B.

Segmenti orientati equipollenti: due segmenti orientati si dicono equipollenti se hanno la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso.

Vettori liberi

La classe dei segmenti orientati equipollenti rappresenta il vettore libero, noto come ente matematico. Un vettore libero è caratterizzato da: modulo, numero non negativo, direzione, detta retta d’azione, e verso.

Notazioni per un vettore: v. Notazioni per modulo di un vettore b. Vettore nullo: vettore di modulo nullo e direzione e verso indeterminati.

Versore: vettore unitario di modulo uno che definisce un orientamento nello spazio.

Rappresentazione di un vettore

Rappresentazione intrinseca di un vettore: v = modulo per versore.

Rappresentazione cartesiana o estrinseca: è la combinazione tra la terna trirettangola e le componenti cartesiane. V = V₁e₁ + V₂e₂ + V₃e₃. Le componenti cartesiane sono rispetto alle direzioni cartesiane.

Terna trirettangola levogira diversa una. La terna trirettangola di versori si dice se i versori sono mutuamente ortogonali tra loro.

Levogira o sinistrorsa: un osservatore posto su e₃ vede ruotare e₁ verso e₂ in senso antiorario per sovrapporsi.

Destrogira o destrorsa: un osservatore posto su e₃ vede ruotare e₁ verso e₂ in senso orario per sovrapporsi. È destrogira, levogira, 0, -1.

Operazioni tra vettori

Prodotto scalare

Prodotto scalare: si definisce la quantità scalare data tra due vettori u e v: u · v = |u| |v| cos α.

L’angolo è il più piccolo angolo tra direzioni orientate che il vettore forma tra due direzioni orientate.

Il prodotto scalare si annulla se almeno uno dei due vettori è nullo oppure se i due vettori sono ortogonali.

La proiezione ortogonale di un vettore v su una direzione orientata è data dal prodotto scalare tra il vettore e il versore della direzione orientata: V_r = v · r = V cos α.

Rappresentazione cartesiana

Le componenti cartesiane coincidono con le proiezioni ortogonali del vettore lungo gli assi dei versori cartesiani, ovvero e₁, e₂, e₃.

v = V₁e₁ + V₂e₂ + V₃e₃; V₁ = v · e₁, V₂ = v · e₂, V₃ = v · e₃.

Prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale: si definisce il vettore, tra due vettori u e v, w = u × v.

Direzione individuata dalla giacitura perpendicolare a quella dei due vettori. Verso tale che la terna u, v, w sia levogira. Modulo pari al prodotto dei moduli per il seno dell’angolo compreso: |w| = |u| |v| sen α.

Rappresenta l’area del parallelogramma i cui lati sono i due vettori.

Il prodotto vettoriale si annulla se almeno uno dei due vettori è nullo oppure se i due vettori sono paralleli.

v × v = 0; e_i × e_i = 0.

Prodotto misto

Prodotto misto: dati tre vettori v, u, w, si definisce la quantità scalare (v × u) · w.

Il prodotto misto è nullo se almeno uno dei tre vettori è nullo o se i tre vettori sono complanari.

Proprietà del prodotto misto: è invariante rispetto a permutazioni cicliche dei tre vettori: v · (w × u) = w · (u × v) = u · (v × w).

È invariante rispetto allo scambio delle operazioni vettoriali: (v × u) · w = v · (u × w).

Doppio prodotto vettoriale

Doppio prodotto vettoriale: dati tre vettori si definisce il prodotto vettoriale tra essi. Il vettore è (a × b) × c oppure a × (b × c).

Il doppio prodotto vettoriale non è associativo. Per la proprietà anticommutativa del prodotto vettoriale si ha: a × b = -b × a.

(a × b) × c = b(a · c) - a(b · c); a × (b × c) = b(a · c) - c(a · b).

Introdotta una terna trirettangola levogira di versori e₁, e₂, e₃, V = V₁e₁ + V₂e₂ + V₃e₃; U = U₁e₁ + U₂e₂ + U₃e₃; W = W₁e₁ + W₂e₂ + W₃e₃.

Prodotto scalare: U · V = U₁V₁ + U₂V₂ + U₃V₃.

Prodotto vettoriale: U × V = (U₂V₃ - U₃V₂)e₁ + (U₃V₁ - U₁V₃)e₂ + (U₁V₂ - U₂V₁)e₃.

Prodotto misto di v, u, w: det K = v · (u × w) = V₁U₂W₃ + V₂U₃W₁ + V₃U₁W₂ - U₁V₂W₃ - U₂V₃W₁ - U₃V₁W₂.

Notazione a indici

Notazione: serve a comparare le formule. Gli indici rappresentati con pedici sono detti enti matematici e possono assumere, in meccanica classica, valori 1, 2, 3.

V = V_ie_i; V_i = V₁, V₂, V₃; e_i = e₁, e₂, e₃.

Espressioni di questo tipo si chiamano monomi falsi. Indici ripetuti non fanno mutare il nome loro detto, in quanto cambiare il valore dell’indice non cambia il valore del monomio.

V_ie_i = V₁e₁ + V₂e₂ + V₃e₃.

Indici liberi: due monomi falsi sono uguali se hanno lo stesso numero di indici liberi e gli stessi indici liberi con lo stesso nome. Un falso monomio contenente m indici liberi e n indici ripetuti rappresenta 3^m polinomi, ciascuno formato da 3ⁿ termini.

M = 0: polinomio formato da 1 termine. M = 1: V_i, polinomio formato da 3 termini. M = 2: b_ij, polinomio formato da 9 termini.

b_ij = b₁₁, b₁₂, b₁₃, b₂₁, b₂₂, b₂₃, b₃₁, b₃₂, b₃₃. Basta b_isb_si = b₁₁b₁₁ + b₁₂b₂₁ + b₁₃b₃₁ + b₂₁b₁₂ + b₂₂b₂₂ + b₂₃b₃₂ + b₃₁b₁₃ + b₃₂b₂₃ + b₃₃b₃₃.

Simbolo di Kronecker

Simbolo di Kronecker: principale diagonale. δ_ij = 1 se i = j, δ_ij = 0 se i ≠ j.

Proprietà del simbolo di Kronecker: sostituendo δ_isV_s = V_i; δ_siV_s = V_i; δ_ijV_j = V_i.

V_sδ_s1 = V₁, V_sδ_s2 = V₂, V_sδ_s3 = V₃; V_iV_jδ_ij = V_iV_i.

Relazione tra il simbolo di Kronecker e i versori della terna trirettangola levogira: e_i · e_j = δ_ij. Condizione di ortonormalità.

Simbolo di Levi-Civita

Simbolo di Levi-Civita: ε_ijk = 0 se almeno due indici sono uguali. ε_ijk = 1 se i, j, k è una permutazione pari di classe di 1, 2, 3. ε_ijk = -1 se i, j, k è una permutazione dispari di classe di 1, 2, 3.

ε₁₂₃ = ε₂₃₁ = ε₃₁₂ = 1; ε₂₁₃ = ε₁₃₂ = ε₃₂₁ = -1.

Il simbolo di Levi-Civita cambia segno ogni volta che si scambiano due indici: ε_sik = -ε_isk.

Relazione tra il simbolo di Levi-Civita e i versori: e_i × e_j = ε_ijke_k. Per una permutazione pari di classe 1, 2, 3 si ha e_i × e_j = e_k; per una permutazione dispari di classe 1, 2, 3 si ha e_i × e_j = -e_k.

(e_i × e_n) = ε_isne_s; (e_n × e_i) = ε_nise_s.

Trasposta: δ_spδ_sq, δ_siδ_sa, δ_spδ_is, δ_saδ_sp, δ_srδ_sp, δ_saδ_sa, δ_sgδ_sa, δ_sqδ_ss, δ_spδ_sa.

ε_pqrε_isn = δ_piδ_qsδ_rn + δ_psδ_qnδ_ri + δ_pnδ_qiδ_rs - δ_pnδ_qsδ_ri - δ_psδ_qiδ_rn - δ_piδ_qnδ_rs.

δ_ipδ_sqδ_nr e formule equivalenti: δ_ipδ_sqδ_nr + δ_isδ_nqδ_pr + δ_inδ_pqδ_sr - δ_inδ_sqδ_pr - δ_isδ_pqδ_nr - δ_ipδ_nqδ_sr.

Con un indice saturo ripetuto: ε_isnε_iar = δ_saδ_nr - δ_srδ_na. Con due indici saturi: ε_isnε_isr = 2δ_nr. Con tre indici saturi: ε_isnε_isn = 6.

Cambiamento di base

Cambiamento di base: e_i = R_ise’_s. Base ortonormale: una base ortogonale in cui tutti i vettori hanno norma unitaria rispetto a un fissato prodotto scalare.

{B} è una base ortonormale se e solo se V_a · V_s = 0 per a ≠ s e V_i · V_i = 1. I vettori definiscono assi ortogonali rispetto al prodotto scalare e ciascun vettore della base ha norma 1.

e_i = R_ise’_s; e’_s = R_ise_i. Matrice di rotazione: R_is.

Matrice di rotazione: la matrice di rotazione è ortogonale per basi ortonormali. R_sqe_q · R_sne_n = δ_qn; R_isR_in = δ_sn; R_isR_as = δ_ia.

Condizioni di ortogonalità: R_isR_in = δ_sn. Dalle nove condizioni di ortogonalità della matrice di rotazione, legati gli elementi, solo tre sono indipendenti.

V = V_ie_i = V’_se’_s; V_i = R_isV’_s; V’_s = R_isV_i.

Le quantità scalari sono invarianti rispetto a un cambiamento di base: U · V = U_sV_s = U’_sV’_s. R_isU’_sR_inV’_n = δ_snU’_sV’_n = U’_sV’_s.

Esercizio sui vettori applicati

Le differenti grandezze fisiche vettoriali possono avere componenti in dipendenza dal loro punto di applicazione.

Un vettore applicato è un vettore spiccato da un punto definito punto di applicazione dello spazio.

Si definisce vettore applicato: ente costituito da un vettore libero e da un punto A di applicazione.

Per poter caratterizzare completamente un vettore applicato nello spazio occorrono 6 parametri:

• Le 3 coordinate del punto di applicazione.
• Le 3 componenti cartesiane V₁, V₂, V₃ del vettore.

Dato P, punto arbitrario, polo, si definisce momento polare del vettore applicato rispetto al polo P il vettore libero: m_P = PA × v.

Polo arbitrario: vettore libero m_P. Il punto di applicazione del vettore applicato risulta essere nullo quando P = A oppure quando P appartiene alla retta d’azione del vettore.

Il momento polare del vettore applicato varia al variare del polo P e al variare del punto di applicazione A del vettore.

Legge di variazione del momento polare al variare del polo: m_Q = QA × v = (QP + PA) × v = QP × v + PA × v = QP × v + m_P.

m_Q - m_P = QP × v; m_P - m_Q = PQ × v.

Legge di variazione del momento polare rispetto al variare del polo: risulta invariante se il polo scorre lungo una retta parallela alla retta d’azione del vettore.

QH = QP, QP parallelo a v, quindi ΔM = QP × v = 0; m_Q = m_P.

Il momento polare è invariante rispetto allo scorrimento del vettore lungo la sua retta d’azione.

Dato il vettore applicato, il momento polare m_P è dato da: m_P = PA × v. Se A’ appartiene alla retta d’azione, PA’ = PA + AA’ e PA’ × v = PA × v + AA’ × v = PA × v, perché AA’ è parallelo a v.

Si definisce momento assiale rispetto a un asse r di un vettore applicato la quantità scalare data dalla proiezione del momento polare su un versore dell’asse r.