Meccanica delle vibrazioni - seconda parte

SISTEMI DISCRETI AD "n" GRADI DI LIBERTA

Molto spesso i sistemi reali hanno molti gradi di liberta. Un aereo bimotore e un esempio di sistema a 3 gdL.

Altro esempio, rotori connessi da molle torsionali:

Robot industriale:

molla torsionale

Vi sono due modi per scrivere le equazioni del moto: quello newtoniano e quello lagrangiano.

Consideriamo il seguente sistema:

Utilizziamo per primo il metodo di Newton.

Creiamo lo schema di corpo libero per la prima delle due masse:

x1 > 0

x1 - x2 > 0

supponiamo

m1 x1'' = -c1 x1' - c2(x1 - x2)' - k1 x1 - k2(x1 - x2) + F1(t)

m1 x1'' + c1 x1' + c2(x1 - x2)' + k1 x1 + k2(x1 - x2) = F1(t)

m1 x1'' + x1'(c1 + c2) - c2 x2' + x1(k1 + k2) - k2 x2 = F1(t) -> eq.differenziale non omogenea

Consideriamo, ora, la seconda massa:

m₂x₂'' = - k₂(x₂-x₁) - c₂(x₂'-x₁') - k₃x₂ - c₃x₂' + F₂(t)

m₂x₂'' + c₂(x₂'-x₁') + c₃x₂' + k₂(x₂-x₁) + k₃x₂ = F₂(t)

m₂x₂'' + (c₁+c₃)x₂' - c₂x₁' + x₂(k₂+k₃) - k₂x₁ = F₂(t) - dato che il sistema e' lineare le equazioni sono lineari

Ora possiamo scrivere le equazioni trovate in un sistema in forma matriciale:

[m₁ 00 m₂][x₁''x₂''] + [c₁+c₂ -c₂-c₂ c₁+c₃][x₁'x₂'] + [k₁+k₂ -k₂-k₂ k₁+k₃][x₁x₂] = {F₁(t)F₂(t)}

matrice di massa n x n

racchiude i termini inerzialin = Gdl

matrice di smorzamento n x n

matrice di rigidezza n x n

Le matrici sono simmetriche - vale per questi sistemi il teorema di Maxwell. Le matrici sono simmetriche se c'e' un sistema di riferimento assoluto per le coordinate.

La matrice di massa e' definita positiva - la forma quadratica, ottenuta moltiplicando a sinistra per un vettore e a destra per il vettore trasposto, e' positiva:

{x'}^T[M]{x'} = 2E_k - doppio dell'energia cinetica, che puo' solo essere positiva

graffa = vettore colonnagraffa^T = vettore riga

La matrice di rigidezza e' semidefinita positiva - perche' l'energia potenziale nel movimento puo' essere nulla

{x}^T[K]{x} = 2E_p - doppio dell'energia potenziale

L'accoppiamento tra le equazioni avviene attraverso la matrice di rigidezza e di conseguenza di quella di smorzamento - accoppiamento statico.

Le matrici di rigidezza e smorzamento fossero diagonali, e quella di massa no - accoppiamento dinamico.

Consideriamo lo stesso sistema ma scriviamo le equazioni del moto con Lagrange (i vincoli devono essere lisci e olonomi).

d/dt ∂L/∂q_k' - ∂L/∂q_k + ∂D/∂q_k' = Q_k     k = 1 ... n

q_k = coordinate libere

L = E_k - E_p - funzione lagrangiana

D = funzione dissipativa di Rayleigh che tiene conto del fatto che vi sono degli smorzamenti viscosi nel sistema

spostamento relativo dell'allungamento/accorciamento nella direzione dello stelo del cilindro

P_j = c_j r'_j · r'_j - potenza dissipata dal j-esimo smorzatore

D = _j=1ⁿ 1/2 c_j q_j² -> funzione dissipativa

psi_k -> componenti lagrangiane della sollecitazione (no forze potenziali, elastiche, viscose perche sono considerate negli altri termini) -> rimangono da considerare solamente le forze esterne.

Q_k = _i=1ⁿ F_i apri/aqc

Quindi:

Ek = 1/2 m1 x1dot² + 1/2 m2 x2dot²

Ep = 1/2 k x1² + 1/2 k2 (x1 - x2)² + 1/2 k3 x2²

e un'energia potenziale elastica

D = 1/2 c1 x1dot² + 1/2 c2 (x1 - x2)² + 1/2 c3 x2dot²

q1 = x1 e tutto allineato, quindi diventano prodotti normali

Q1 = F1 apri/ax1 + F2 apri/ax1 = F1

Q2 = F1 apri/ax2 + F2 apri/ax2 = F2

q2 = x2

sono indipendenti l'uno dall'altro -> la derivata e nulla

apriL/ax1 = m1 x1dot

d/dt apriL/ax1 = m1 x1dotdot

apriL/ax2 = m2 x2dot

d/dt apriL/ax1 = m2 x2dotdot

apriL/ax1 = -k1x1 - k2(x1 - x2)

apriL/ax2 = +k2(x1 - x2) - k3x2

apriD/ax1 = c1x1dot + c2(x1dot - x2dot)

apriD/ax