Meccanica delle vibrazioni - prima parte

INTRODUZIONE

Le vibrazioni sono moti alternativi di piccola ampiezza.

continuamente invertono il proprio moto

piccole rispetto alle dimensioni dell'oggetto che vibra.

Dato che si tratta di piccoli spostamenti e' possibile linearizzare le equazioni che le definiscono.

Si possono avere oggetti con un unico grado di liberta', corpi rigidi (a 6 g.d.l.), corpi interconnessi, corpi deformabili (con oo gradi di liberta'). Il range di gradi di liberta' va da 0 ad oo.

Condizioni che generano moti vibratori: devono essere presenti organi che immagazzinano energia cinetica ed altri potenziale (molla elastica, molla torsionale, pendolo) -> e' necessario un serbatoio di energia potenziale ed uno di cinetica. Le vibrazioni si originano dal continuo passaggio tra energia cinetica e potenziale -> il "travaso" (= passaggio) avviene grazie al movimento dei corpi, che genera, anche, una dissipazione di energia.

In generale, vi sono tre tipologie di vibrazioni

• LIBERE
• FORZATE
• AUTOECCITATE

Le prime, quelle libere, avvengono come conseguenza di una perturbazione iniziale del sistema, dopo la quale inizia ad oscillare. Le uniche forze che agiscono sono: momenti di natura elastica, la gravita', l'inerzia, quelle dissipative. Il diagramma energetico e' la curva dell'energia in funzione della posizione -> il sistema oscilla tra una configurazione q₁ e q₂; mentre q₀ e' la posizione di equilibrio stabile.

piu' il tempo passa piu' l'energia si riduce a causa degli effetti dissipativi -> l'energia viene consumata, quindi l'ampiezza del moto vibratorio diminuisce.

Un sistema vibrante non oscilla a tutte le frequenze o periodi possibili, ma solamente a quelli naturali.

Quindi un sistema non oscilla liberamente.

Le seconde vengono dette vibrazioni forzate e rappresentano il caso in cui al sistema venga aggiunta una forza alternativa, piu' in generale una causa esterna. Anche in questo caso il sistema ha un proprio livello iniziale di energia, ma la forza esterna riesce a compensare l'energia che viene dissipata, grazie all'apporto energetico, che riesce a dare.

Le terze, sono le vibrazioni autoeccitate, che sono quelle nelle quali l'ampiezza si mantiene la medesima, o aumenta, perchè il sistema riesce a recuperare o prendere energia da un sistema, che in generale non oscilla.

C'e un qualche fenomeno fisico per cui ad ogni ciclo il sistema acquista energia -> l'ampiezza del moto vibratorio aumenta. Un esempio di questa tipologia di vibrazioni e quella in cui vi e l'interazione di un corpo con una corrente fluida, in moto a velocita costante.

Le vibrazioni vengono viste come un fenomeno da evitare, controllare perchè: danno fastidio (come le vibrazioni di una bici; malattie professionali); perche esiste un collegamento tra le vibrazioni e il rumore; possono provocare la rottura di saldature, collegamenti meccanici; esiste, poi, un collegamento stretto tra le vibrazioni ed il cedimento a fatica; alcune volte fanno disastri, come un terremoto (forzante transitoria).

Esistono dei casi in cui le vibrazioni sono positive -> musica (strumenti, apparecchi audio), automazione (dispositivi, vibrotrasportatori, che orientano dei pezzi, grazie alle vibrazioni); raccolta di energia dalle vibrazioni (che alimentano i sensori per eliminare i cablaggi).

RISONANZA e il trasferimento ottimale di energia dalla forzante al sistema; la frequenza della causa esterna e uguale a quella di una delle frequenze naturali del sistema. Al di sotto della risonanza vibra poco; alla risonanza vibra molto; sopra alla risonanza moltissimo.

TRASFORMATA DI FOURIER

Le vibrazioni sono moti alternativi di piccola ampiezza. Il moto alternativo piu semplice e

una funzione armonica del tipo :

x = A cos(omega t) o x = A sen(omega t)

ampiezza

pulsazione o velocita angolare [rad/s]

La funzione seno e coseno sono periodiche di periodo 2pi.

A cos(omega t) = A cos(omega t + 2kpi) dove k e un intero k = 1 .... n

= A cos(omega(t + 2kpi/omega))

T = 2pi/omega [s] -> periodo

La frequenza e l'inverso del periodo f = 1/T = omega/2pi [Hz]. Le equazioni non sono altro che

la proiezione nel piano di un vettore di modulo A e che ruota a velocita omega.

Spesso viene utilizzata la scrittura complessa : x(t) = Ae^{iomega t}

Utilizzando la formula di Euler: Ae^{iomega t} = A cos(omega t) + i A sen(omega t)

Lo spostamento (in termini generali): x(t) = A cos(omega t)

derivata x'(t) = -A omega sen(omega t) = A omega cos(omega t + pi/2)

x''(t) = -A omega² cos(omega t) = A omega² cos(omega t + pi)

La velocita e sfasata rispetto allo spostamento, e in anticipo di pi/2 rispetto allo spostamento;

l'accelerazione e in anticipo di pi rispetto allo spostamento. Nel piano complesso:

se omega > 1

Le armoniche sono un sottoinsieme delle periodiche, la cui proprieta e che:

x(t) = x(t + kT)

periodo

Esempi:

Si puo passare da un