Meccanica delle vibrazioni - terza parte

VIBRAZIONE DEI CONTINUI 2

Consideriamo il seguente sistema:

w(_ξ,t)=ψ(_ξ)G(t)

_μ ∂²w(_ξ,t)/∂t² + EI ∂⁴w(_ξ,t)/∂_ξ⁴ = 0 - soluzione ipotizzata

∂²w(_ξ,t)/∂t² = ψ(_ξ)G''(t)

∂⁴w(_ξ,t)/∂_ξ⁴ = ψ^IV(_ξ)G(t)

derivate rispetto al tempo e allo spazio (derivata seconda del tempo; derivata quarta dello spazio)

Quindi possiamo dire:

μψ(_ξ)G''(t) + EI ψ^IV(_ξ)G(t)=0

riordiniamo

EI ψ^IV(_ξ)G(t) = -μψ(_ξ)G''(t)

dividiamo

EI ψ^IV(_ξ)/μψ(_ξ) = -G''(t)/G(t) = ω²

funzione solo del tempo

costante una funzione dello spazio

la equazione e soddisfatta se entrambi i membri sono uguali ad una costante

Facciamo la separazione delle variabili:

-G''(t)/G(t) = ω²

-G''(t) = G(t)ω²

G''(t)/ω² + G(t)=0

La soluzione e di tipo armonico:

G(t)=A sen(ωt)+B cos(ωt)

A e B sono costanti da determinare in base alle condizioni iniziali

E' giusto assumere +ω² - perchè se no ci sarebbero state delle soluzioni G(t)=e^ωt ...

omega reale; se e reale negativo diminuisce (ma non c'e smorzamento); se e positivo il sistema diverge.

Consideriamo l'equazione spaziale:

EI ψ^IV(_ξ)/μω²ψ(_ξ) = ω²

dividendo per α²

γ⁴ = μω²/EI

ha le dimensioni di un numero d'onda

facciamo una posizione

ψ^IV(_ξ) - γ⁴ψ(_ξ)=0 eq. differenziale del quarto ordine, lineare

Quindi, ipotizziamo le soluzioni: ψ(_ξ) = c e^λ_ξ

ψ^IV(_ξ) = λ⁴ c e^λ_ξ → λ⁴ c e^λ_ξ - γ⁴ c e^λ_ξ = 0

(λ⁴ - γ⁴) c e^λ_ξ =0 → raccogliendo

λ⁴ = γ⁴

λ² = ± γ²

λ = ±√-γ²

quattro possibili soluzioni, ma se termore un numero positivo

λ = ±√γ² = ±|γ|

λ = ±√-1 √γ² = ±i |γ|

ψ(_ξ) = c₁e^-iγ_ξ + c₂e^iγ_ξ + c₃e^-γ_ξ + c₄e^γ_ξ

i primi due termini sono esponenziali complessi gli altri due sono esponenziali normali

ora si riscrive l'equazione utilizzando la formula di Eulero e le proprieta delle funzioni iperboliche:

che:

ψ(_ξ) = c₁ sen(ξ_ξ) + c₂ cos(ξ_ξ) + c₃ senh(ξ_ξ) + c₄ cosh(ξ_ξ)

nella parte spaziale oltre alle funzioni armoniche ci sono quelle iperboliche

Nella quale si ha che:

cosh(ξ_ξ) = (e^iξ_ξ + e^-iξ_ξ)/2

senh(ξ_ξ) = (e^iξ_ξ - e^-iξ_ξ)/2

La coordinata 0 < _ξ < n - quindi non diverge, per questa ragione e corretto considerare anche le funzioni iperboliche nel dominio dello spazio

In questo caso abbiamo delle onde di tipo dispersivo

ω = ξv

La velocita di propagazione e v = w/g = w/ 4^throot(mw²/EI) = w/w^1/2 4^throot(m/EI) = w^1/2/4^throot(m/EI)

la velocita di propagazione dipende dalla radice di w quindi le componenti con w alto hanno v maggiore la perturbazione parte tutta insieme ma quelle con frequenza maggiore arrivano prima

Condizione degli spostamenti = congruenza

w(0,t) =