Meccanica del terreno

Meccanica del terreno

(Adattamento della meccanica del continuo al nostro mezzo che in realtà non è continuo).

La tensione è la risultante della forza applicata su un’area di un elementino: lim →0

La risultante delle forze può essere scomposta in una componente normale (tensione normale e in ) una componente tangenziale (tensione tangenziale ). = lim ; = lim _→0 →0

Per definire una tensione occorrono 6 parametri perché, per il principio di reciprocità e ; = = ciò comporta la simmetria del tensore. Si definisce tensore delle tensioni la matrice simmetrica del tipo: = [ ] dove sono le tensioni principali. , , Gli indici utilizzati indicano nel caso delle componenti normali la direzione parallela all’asse di riferimento; nel caso delle componenti tangenziali (esempio ) il primo indice individua il piano di giacitura della (piano normale all’asse e il secondo la sua direzione (parallela all’asse) ).

In ogni punto del continuo possiamo decomporre lo sforzo per il fatto che l’intero continuo è in equilibrio.

Proprietà delle matrici

• Cambiando il sistema di riferimento i numeri della matrice cambiano ma il determinante no.
• Le matrici del 2° ordine sono invarianti.
• La somma della traccia della matrice non cambia (è invariante). ( ) + +

Decomposizione dello stato di sforzo

− 0 0 − − − 0 0[ ] = [ ]+[ ] . − . − − 0 0 = +

La componente isotropa è responsabile delle variazioni di volume; la componente deviatorica è responsabile delle variazioni di forma (responsabile della rottura del materiale e del terreno).

Se con allora lo stato è isotropo e si ha una variazione di volume. = = ≠ 0 = 0

Le provocano i cambiamenti di forma.

Convenzionalmente nella Meccanica dei Solidi il segno positivo è riservato alle tensioni normali di trazione, mentre nella Meccanica dei Terreni sono considerate positive quelle di compressione. Si assumono positive le tensioni tangenziali quando il senso di rotazione intorno ad un punto esterno al piano di giacitura è orario o, più semplicemente, quando esse danno origine ad una coppia antioraria.

Stato di sforzo assial-simmetrico o cilindrico

Avremo solo (sigma assiale) e (sigma radiale) che compongono il tensore degli sforzi. 0 0− 0 = [ ]. −

Le invarianti dello stato di sforzo assial-simmetrico sono date dalla componente isotropa e dalla componente deviatorica . + 2 = ; = − 3

Se lo stato di sforzo è simmetrico e, quindi, lo stato tensionale è isotropo. = = :

Cerchi di Mohr

Rappresenta lo stato di sforzo in ogni possibile giacitura. Ci poniamo in uno stato di tensione piano: = [ ] O V

L’orizzontale passante per il punto si chiama giacitura orizzontale; la verticale passante per si chiama giacitura verticale.

Il centro del cerchio individua la componente isotropa; il diametro individua la componente deviatorica. O V

La retta orizzontale che passa per rappresenta lo stato di sforzo sulla giacitura orizzontale; l’orizzontale per rappresenta lo stato di sforzo sulla giacitura verticale. K

Il punto , dato dall’intersezione della retta passante per O e della verticale per V, è chiamato polo delle giaciture (o delle direzioni). P

Tracciando una retta inclinata da K incontro la circonferenza in un punto generico ed individuo lo stato di sforzo (, sulla giacitura. Al variare della giacitura, ruotando il sistema di riferimento, gli stati di) sforzo formano la circonferenza di Mohr.

In generale si ha che la posizione del cerchio rappresenta la componente isotropa, mentre la dimensione del cerchio rappresenta la componente deviatorica.

1° caso 2° caso: i cerchi A e B hanno lo stesso centro e : i centri di A e B non coincidono; avremo quindi stessa componente isotropa ma diversa diversa componente isotropa ma stessa componente componente deviatorica. deviatorica.

Se lo stato tensionale non fosse piano, avremo 3 cerchi di Mohr. In Geotecnica usiamo stati di sforzo piani ovvero, uno stato di sforzo assial-simmetrico.

Rappresenta il centro di 3 cerchi di Mohr di cui uno è degenere ed è espresso attraverso la seguente relazione: + 2 = 3

Supponiamo di voler conoscere utilizzando il cerchio di Mohr lo stato di sforzo su un piano inclinato di 30°. K O

Da faccio partire una retta a 30° rispetto all’asse orizzontale e trovo e devo specificare il verso ; della rotazione poiché nel caso A avrò i punti 1 e 2.

Nel caso B (caso delle sollecitazioni principali), la è indifferente il verso di rotazione, a cambiare è 3 solo la . 3

Questo ragionamento vale per ogni verso di rotazione (deriva dal fatto che nel caso B le tensioni principali O V coincidono con le tensioni su e su , mentre le cambiano su q