Macchine termiche, ciclo di Carnot

Macchine termiche

Una macchina termica è un dispositivo che scambia calore con l'ambiente e produce lavoro. Ogni macchina termica contiene fluido motore. Se la macchina termica deve produrre lavoro in modo continuativo il fluido motore deve percorrere un ciclo di trasformazioni.

Ciclo di Carnot

Il ciclo di Carnot è il più semplice ciclo reversibile che avviene tra due sorgenti termiche. È dato da una serie di trasformazioni cicliche, ossia ha lo stesso punto di partenza e di arrivo nel piano p-V.

Per il ciclo di Carnot è necessario che le due sorgenti tra cui si svolge il ciclo siano a temperature differenti Tc e Te con Tc > Te. Il ciclo è composto da 2 isoterme e due adiabatiche tutte reversibili.

Macchine termiche

Una macchina termica è un dispositivo che scambia calore con l'ambiente e produce lavoro. Ogni macchina termica contiene fluido motore. Se la macchina termica deve produrre lavoro in modo continuativo il fluido motore deve percorrere un ciclo di trasformazioni.

Ciclo di Carnot

Il ciclo di Carnot è il più semplice ciclo reversibile che avviene tra due sorgenti termiche. È dato da una serie di trasformazioni cicliche, ossia ha lo stesso punto di partenza e di arrivo nel piano p-V.

Per il ciclo di Carnot è necessario che le due sorgenti tra cui si svolge il ciclo siano a temperature differenti Tc e Tf con Tc > Tf. Il ciclo è composto da 2 isoterme e due adiabatiche tutte reversibili.

La macchina lavora descrivendo sempre lo stesso ciclo per cui si ha ΔU = 0.

Per il primo principio della termodinamica si ha:

Q - L = 0 ⇒ Q = L

Indicando con |Qc| e |QR| i moduli delle quantità di calore che il fluido scambia con le due sorgenti, si ha:

L = |Qc| - |QR|

Per definizione sappiamo che il rendimento termodinamico η:

η = _|L|/^|Qc| = _{|Qc| - |QR|}/^|Qc| = 1 - _|QR|/^|Qc|

(rapporto tra il lavoro erogato dalla macchina (ciò che otteniamo) e l'energia termica assorbita (ciò che spendiamo))

• Lungo A-B la trasformazione è isoterma. Il fluido motore subisce un'espansione di volume VA - VB.
• So che ΔU = 0 ⇒ LAB = Qc.

LAB = ∫_VA^VB p dV = nRT_C ∫_VA^VB _dv/^v = nRT_C log _VB/^VA

⇒ |Qc| = Qc = nRT_C log _VB/^VA

Lungo C-D: isoterma.

QR = LCD = nRT_B log _VD/^VC

⇒ |QR| = QR = nRT_B log _VC/^VD

|Qcc| e |Q2| otteniamo:

|Q2| / |Qcc| = μRTr log / 0 * 1 / μRTc log / A

|Q2| / |Qcc| = Tr / Tc log c / 0 / log B / A

Allora: η = 1 - |Q2| / |Qcc| = 1 - Tr / Tc

Dato che Tr < Tc allora: 0 < η < 1

3) AD, BC → Adiabatico

Q = 0 → Applico eq. dell'adiabatico:

Tr B / A = Tc c / 0

B / A = c / 0

Il ciclo di Carnot è un ciclo reversibile se esso viene percorso in senso inverso, le energie scambiate con le sorgenti cambiano segno:

|L| = |Qc| - |Q2| ⇒ |Qc| = |Q2| + |L()

Il ciclo di Carnot diventa quindi un ciclo frigorifero (trasferisce calore da una sorgente fredda a una calda). Si calcola quindi l'efficienza o il COP (coefficiente di prestazione).

ε = / L

ε = Tr / Tc-Tr

Trasformazione isocora

È una trasformazione che avviene a volume costante. In questo caso non si ha scambio di lavoro, per cui per la I legge della termodinamica:

L = 0    ΔU = Q    V = cost.

dQ−PdV=dU ⇒ dQ=dU ⇒ _nC_V = ¹/_n dQ/dt = ¹/_h dU/dt

⇒ dU=hC_Vdt equivale a ΔU=nc_VΔt

Per ampi intervalli di temperatura si osserva che C_V può essere considerato cost.

U=∫n_CV dt = hC_V∫dt=hC_Vt+C

⇒ Q−L=hC_V(T₂−T₁)=nc_VΔT

⇒ dQ−dL=hC_Vdt

Dalla Teoria cinetica dei gas ⇒ U=³/₂nRT = hC_Vt

C_V=3R gas poliatomico

C_V = ^3R/₂ gas monoatomico

C_V = ^5R/₂ gas biatomico

Trasformazione isobara

È una trasformazione che avviene a pressione costante ρ=cost.

dQ−dL=dU ⇒ dQ−PdV=dU ⇒ dQ=dU+PdV

c_p=¹/_n dQ/dt = ¹/_n dU/dt + ¹/_h PdV/dt

⇒ C_V+¹/_h PdV/dt = C_V + ^KRΔT/_hΔt

⇒ C_p= C_V+R

pV=nRT ⇒ dpV+pdV=nRdT ⇒ PdV=nRdT

Monatomico C_p = 5/2 R

Biatomico C_p = 7/2 R

Poliatomico C_p = 4 R

Trasformazioni adiabatiche

Il sistema deve essere ben isolato per impedire l'entrata o l'uscita di energia termica.

Q = 0   ΔU = L

In forma differenziale:

dQ^* = ∅L = ∅U   →   - ∅L = ∅U

Per l'espressione generale del lavoro questo lo si intende come la pressione per la variazione di volume.

∅U = n c_v ΔT

∅L = P ∅V

Possiamo quindi scrivere:

-P∅V = n c_v ΔT

Ma sappiamo che PV = nRT → P =

Sostituendo:

-∅RT ∅V = ∅c_v ΔT

Divido tutto per T:

-∅R ∅V =

Divido entrambi i membri per c_v:

-∅R ∅V =

Per la legge di Mayer so che R = C_P - C_V

- (_{CP - CV}) _ΔV/C_VV = _ΔT/T

⇒ (_CP/C_V - _CV/C_V) _ΔV/V = _ΔT/T

Pongo γ = _CP / C_V ⇒ (γ - 1) _ΔV/V = - _ΔT/T

Integrando:

(γ - 1) ∫_A^B ₁/V dV = - ∫_A^B _dT/T

(γ - 1) [ln V]_A^B = - [ln T]_A^B

(γ - 1) [log V_B - log V_A] = - [log T_B - log T_A]

(γ - 1) [log _VB/V_A] = -log _TB/T_A

log (_VB/V_A)^γ-1 = -log _TB/T_A

(_VB/V_A)^γ-1 = (_TB/T_A)^-1

(_VB/V_A)^γ-1 = _TA/T_B

T_B (V_B)^γ-1 = T_A (V_A)^γ-1

T(V)^γ-1 = cost.

Per la legge dei gas perfetti T = _PV/nR per cui

(_PV/nR) (v)^γ-1 = cost. ⇒ PV^γ = cost. ⇒ TP^{₁/γ - 1} = cost.