Macchine Termiche e il Secondo Principio della Termodinamica

Le macchine termiche e il secondo principio della termodinamica

1) Definizione di macchina termica

È sperimentalmente verificato che nel rispetto del primo principio della termodinamica (ovvero della conservazione dell’energia) non c’è nessun limite e/o difficoltà nell’ottenere in modo continuo calore dal lavoro; basti pensare alle situazioni in cui è presente l’attrito.

Il problema base della termodinamica è indagare la possibilità, permessa dal primo principio, di trasformare con continuità il calore in lavoro.

È evidente che ciò si può ottenere con una singola trasformazione; ad esempio (fig. 1), possiamo, assorbendo calore Q, fare espandere molto lentamente un sistema, costituito da un gas ideale contenuto in un cilindro ideale, chiuso da un pistone, con pareti adiabatiche e fondo conduttore in contatto con una sorgente di calore a temperatura T (ovvero una espansione isoterma).

Stato iniziale M T V i s stato finale M T V f F Fig. 1

ε e per il primo principio, infatti, in una trasformazione isoterma di un gas ideale U_Int = 0, quindi in assenza di attrito, tutto il calore assorbito è trasformato in lavoro: Q = W, ⇒ ⇒ ε ε con p dV F ds > 0, Q = W > 0, W_ass.

Questo non è interessante perché il processo si ferma una volta raggiunto un dato stato finale, con il sistema in configurazione diversa da quella iniziale (vedi fig. 1).

Per avere ancora lavoro dovremmo trovare il modo di riportare il sistema nella configurazione iniziale e inoltre, affinché il processo sia conveniente, dovremmo spendere in questa fase meno lavoro di quello ottenuto nella fase di espansione: ciò sarà possibile, essendo | V| lo stesso, solo se la pressione con cui si riporta il sistema nelle condizioni iniziali è mediamente minore di quella con cui si è effettuata l’espansione.

28/03/11 Lezioni di Fisica per CTF – MdP 1

Risulta quindi evidente che per trasformare con continuità Q in W dobbiamo avere una serie di trasformazioni che riportano il sistema indietro al punto di partenza, passando per pressioni minori, come schematizzato in fig. 2, ossia una trasformazione ciclica o semplicemente un ciclo.

Infatti, nella fase di espansione si ha W_{A B} > 0 (area tratteggiata in rosso in fig. 2a), mentre W_{B A} < 0 (area tratteggiata in celeste in fig. 2b) nella fase successiva di compressione.

p ε ε p espansione A B A compressione B A A B B W > 0 ciclo W > 0 ε W < 0 A B ε B A V V Fig. 2a Fig. 2b

Il lavoro totale fatto compiendo il ciclo (area in giallo in fig. 2d) è: W_ciclo = W_{A B} + W_{B A} > 0.

Per una qualunque successione di trasformazioni che formano un ciclo percorso come in fig. 2 (cioè in senso orario), essendo U_Int una variabile di stato, segue dal primo principio della termodinamica che: ε ΔU_Int = U_Int(A) − U_Int(A) = 0, W_ciclo = Q > 0.

Accade in genere che in alcune trasformazioni del ciclo il sistema assorba calore, in altre lo ceda; posto Q_ass e Q_ced rispettivamente la somma dei calori assorbiti e ceduti dal sistema durante tutto il ciclo si ha: = Q = Q_ass − |Q_ced| > 0, Q_ass > |Q_ced|.

1.1 W_ciclo

Conclusione: un sistema costituito da una sostanza, che chiameremo fluido motore, che esegue una opportuna trasformazione ciclica riesce a trasformare il calore in lavoro; vedremo in seguito (par. 6) che ci sono forti limitazioni in questo processo.

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Realizzazione di un ciclo con trasformazioni specifiche

• Iniziamo con fare espandere isotermicamente a temperatura T₁ un gas ideale da uno stato iniziale a a uno stato finale b (fig. 3), ottenendo con tale trasformazione che tutto il calore assorbito Q₁ si trasforma in lavoro W_{a b} = Q₁ > 0.
• Se vogliamo tornare allo stato iniziale a, scambiando calore alla stessa temperatura T₁, l’unica trasformazione che possiamo effettuare è una compressione isoterma sempre a temperatura T₁. Ma è evidente (come mostrato in fig. 3) che dovremmo in tal caso spendere esattamente lo stesso lavoro, in modulo, ottenuto nell’espansione: W_{b c} = W_{a b}, quindi W_ciclo = 0; per ottenere lavoro da un ciclo, il fluido motore deve scambiare calore con almeno due temperature. Si trova sperimentalmente che questo è sempre vero. Come abbiamo sottolineato, per ottenere lavoro è necessario inoltre che la pressione media a cui si compie il percorso di ritorno deve essere minore di quella della fase di espansione.
• Per quanto detto al punto precedente, se vogliamo tornare allo stato iniziale scambiando calore soltanto ad una temperatura (oltre T₁) e avere contemporaneamente W_ciclo > 0 (vedi fig. 4), la compressione deve essere svolta lungo una isoterma a temperatura T₂ con T₂ < T₁. Durante questa compressione il fluido motore cede un calore Q₂ = W_{b c} < 0 con |W_{b c}| < W_{a b}.
• Resta da stabilire come passare da una isoterma all’altra, e questo sarà visto in seguito.

p p a a ε ε espansione a b ε espansione a b d b b a compressione b W > 0 T T₁ c W_{a b} = |W_{b a}| ε T compressione c d 2 V V fig. 3 fig. 4

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In ogni caso, possiamo concludere osservando che per ottenere lavoro con un ciclo, un fluido motore deve assorbire calore da sorgenti a date temperature e cedere calore a sorgenti a temperatura più basse; chiameremo macchina termica un dispositivo che attraverso una trasformazione ciclica di un fluido motore scambia ovvero assorbe calore Q_ass = Q_sc,Talte a temperature più alte, e ne scambia ovvero cede una quantità |Q_ced| = |Q_sc,Tbasse| a temperature più basse e fornisce un lavoro W = Q_ass − |Q_ced| = Q_sc,Talte − |Q_sc,Tbasse|, come schematizzato in fig. 5.

T_alta,1 T_alta,2 ⇓⇓⇓⇓⇓⇓ Q_ass = Q_sc,Talte = Q_a,1 + Q_a,1 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ Q Q_a,1 a,2 W Macchina termica ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ Q Q ⇓⇓⇓⇓⇓ b,2 b,1 Q_ced = Q_sc,Tbasse = Q_b,1 + Q_b,1 T_bassa,1 T_bassa,2 fig. 5

Si definisce rendimento di una macchina termica la quantità: η = W / Q_ass = (Q_ass − |Q_ced|) / Q_ass = 1 − |Q_sc,Tbasse| / Q_sc,Talte