Lezione 17 di Probabilità e statistica

Esercizi sulle densità congiunte

f(x,y) = exp(-y)* 1_E (x,y)

E= { (x,y): 0<x<y } ◧

Esercizio 2b.14

Sia (X, Y) un vettore aleatorio di densità congiunta −y −f (x, y) = e per 0 < x < y. Trovare la densità di X, di Y e di (X, Z), dove Z = Y X. ◧

Esercizio 2b.15

Siano X e Y indipendenti e uniformemente distribuite in [0, 1]. Trovare max(X,Y) la densità di Z = . min(X,Y) ◧

Esercizio 2b.16

Siano X e Y indipendenti ed esponenziali di parametro λ. Se U = X +Y e V = X/(X + Y), trovare la densità di (U, V), di U e di V. ◧

Esercizio 2b.17

Siano X, Y e Z indipendenti ed esponenziali di parametro λ. Trovare − la densità di Z X condizionata da X < Z < Y. ◧

Esercizio 2b.18

(II prova in itinere a.a. 2011-12)

Si consideri il vettore aleatorio (X, Y) con densità congiunta:

{ x + y se 0 < x < 1, 0 < y < 1
f (x, y) = 0 altrimenti

• (i) Trovare le densità di X e Y. Risultano v.a. indipendenti?
• (ii) Calcolare E(X), E(Y), Var(X), Var(Y) e Cov(X, Y).
• (iii) Calcolare P (Y − 2 > 0).
• (iv) Trovare la densità di Z = X + Y e calcolare:
  • (a) P (ln(X + Y) < 0);
  • (b) Il quantile di Z di ordine 1/3, cioè il valore q per cui P (Z ≤ q) = 1/3.

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Soluzioni degli esercizi del cap. 2

209

Soluzioni esercizi 2b.14, 2b.15, 2b.17, 2b.18

y = zx (z > 1)

1 y = zx (z 1)≤1

Figura 8

Derivando, si ottiene la densità di Z:

{ ≤ ≤1 13+ z se 0 z 13
f (z) =Z 1 1+ se z > 1.
3 23z 3z ◧

Esercizio 2b.14

Si ha: ∫ +∞ −yf (x) = dye 1 (x, y) ={0<x<y}
X

Dunque X~esp(1) −∞∫ [ ]+∞ +∞−y −y −x− Inoltre Y~Gamma (2, 1)= e dy = e = e , se x > 0.xx

∫ +∞ −yf (y) = dxe 1 (x, y) ={0<x<y}
Y −∞∫ y −y −y= e dx = ye , se y > 0.0− ≥ ≥

Inoltre, se Z = Y X, risulta quasi certamente Z ≥ 0 e, per z ≥ 0:

∫ ∫ −y≤ − ≤P (Z z) = P (Y X z) = e 1 (x, y)dxdy,{0<x<y}
E

210 Capitolo 5

y = x + z

y = x

E

Figura 9

{(x, ≤dove E = y) : 0 < x < y, y x + z} è l’insieme indicato in figura 9.

Allora, per z ≥ 0:

∫ ∫ ∫ [ ]+∞ x+z +∞ x+z−y −y −z≤ − −P (Z z) = dx dye = dx e = . . . = 1 ex0 x 0

la densità di Y - X e quindi Z ha distribuzione esponenziale di parametro λ = 1. −→

Consideriamo ora la trasformazione g : (X, Y) → (X, Z) e':

{{ f_Z(z) = \int f(x, zX = XX = X , oppure +x) dx− Y = X + ZZ = Y X
( )

con 1 0J (x, z) = , detJ (x, z) = 1.−1 −1
g g1 1

Allora, la densità di (X, Z) è : −(x+z) −(x+z)