Lezione 18 Probabilità e statistica

Esercizio 2.49 (prova in itinere a.a. 2004/05)

Un esame consta di due prove, una scritta ed una orale. Si sa che i tempi di esecuzione T ed S delle due prove sono variabili aleatorie esponenziali di media 2 ore. Supponendo che le prove si svolgano in modo indipendente l’una dall’altra, calcolare:

• Legge, media e varianza del tempo totale necessario per sostenere l’esame, ovvero la legge della v.a. V = T + S;
• La probabilità che uno studente concluda l’esame in non meno di 4 ore, ovvero la probabilità dell’evento {V ≥ 4};
• La legge della variabile aleatoria U = min{T, S}.

Soluzione

(i) T ed S sono variabili aleatorie esponenziali indipendenti di parametro 1/2, cioè di densità Gamma(1, 1/2). Pertanto, ricordando il teorema di addizione di v.a. con comune legge Gamma, si ottiene che V ∼ Gamma(2, 1/2) e dunque la sua densità è:

f_V(x) = (1/2²)xe^-x/2 se x ≥ 0,

f_V(x) = 0 se x < 0.

Inoltre, per la linearità del valore di aspettazione:

E(V) = E(T + S) = E(T) + E(S) = 4

ed, utilizzando l’indipendenza di T ed S:

Var(V) = Var(T + S) = Var(T) + Var(S) = 2 · 4 = 8.

(ii) P{V ≥ 4} = ∫₄^∞ (1/2²)xe^-x/2 dx = [−xe^-x/2/2 − 2e^-x/2]₄^+∞ = 3e^-2 ≈ 0.406.

Si può alternativamente usare l’espressione della funzione di ripartizione di una variabile Gamma(2, 1/2), che è la seguente:

F_V(x) = 1 − e^-x/2 − (x/2)e^-x/2 se x ≥ 0,

F_V(x) = 0 se x < 0.

E dunque P{V ≥ 4} = 1 − F_V(4) = e^-2 + 2e^-2 = 3e^-2.

(iii) Calcoliamo la funzione di ripartizione di U.

Poiché {U > x} = {T > x, S > x} e le variabili T ed S sono indipendenti, si ha la seguente catena di uguaglianze:

F_U(x) = P(U ≤ x) = 1 − P(U > x) = 1 − P(T > x, S > x) =

= 1 − P(T > x)P(S > x) = 1 − e^-x/2e^-x/2 = 1 − e^-x se x ≥ 0,

0 se x < 0.

Dunque U è una variabile aleatoria esponenziale di parametro 1.

Esercizio 2.50 (prova d’esame del 13/07/2005)

Supponiamo che il numero N_t delle richieste di connessione giunte ad un server nell’intervallo di tempo [0, t], sia una v.a. di Poisson di parametro 2t, il tempo t è misurato in secondi.

• Calcolare P(N_t < 1).
• Se T₁ rappresenta l’istante, aleatorio, in cui arriva la prima richiesta di connessione, trovare la densità di T₁ e calcolare P(T₁ > 5) (si osservi che {T₁ > t} = {N_t < 1}).
• Calcolare P(1 ≤ T₁ < 5).
• Sia X la v.a. definita da X = N₁ − 1/(E(T₁)); calcolare E(X) e Var(X).

Soluzione

(i) Risulta P(N_t < 1) = P(N_t = 0) = e^-2t.

(ii) Siccome P(T₁ > t) = P(N_t < 1), si ottiene P(T₁ > t) = e^-2t, e quindi P(T₁ ≤ t) = 1 − e^-2t. T₁ è allora una v.a. esponenziale di parametro λ = 2. Si ha poi P(T₁ > 5) = e^-2·5 = e^-10.

(iii) ∫₁⁵ &