Integrali in R3 - Appunti

INTEGRALI IN IR³

Q = [a₁, b₁] x [a₂, b₂] x [a₃, b₃],    |Q| = (b₁ - a₁)(b₂ - a₂)(b₃ - a₃)

Scegliamo una suddivisione di Q in "cubetti":

a₁ = x₀ < x₁ < ... < x_l = b₁

a₂ = y₀ < y₁ < ... < y_m = b₂

a₃ = z₀ < z₁ < ... < z_n = b₃

Restano individuati l-m-n cubetti: Q_ijk = [x_i, x_i+1] x [y_j, y_j+1] x [z_k, z_k+1]

0 <= i < l-1,    0 <= j < m-1,    0 <= k < n-1.

Sia f: Q → IR, limitata e definiamo M_ijk = sup f su Q_ijk, m_ijk = inf f su Q_ijk

S⁺ = Σ_ijk M_ijk|Q_ijk|,    s = Σ_ijk m_ijk|Q_ijk|

piu la suddivisione è fine e piu le somme superiori sono piccole e le somme inferiori sono grandi, cioè se D e D' sono 2 suddivisioni, e D' è piu fine di D allora

S_D'⁺ ≤ S_D⁺    e    s_D' ≥ s_D

vale sempre che   s_D ≤ S_D    ∀ D.

s_D ≤ s_D' ≤ S_D'⁺ ≤ S_D⁺

Diciamo che f e integrabile su Q se

sup_D s_D = inf_D S_D⁺

e questo valore per definizione e

∥∥∥_Q f(x,y,z) dx dy dz.

Se f: Ω → IR, Ω limitato, Ω s0 contenuto in un Q suff. grande, allora definiamo

g~ = { f(x,y,z) ne (x,y,z) e Ω0 ne (x,y,z) e Q \ Ω

(f e R(Ω))

Diremo che f e integrabile in Ω se g~ e R(Q)

e poniamo

∭_Ω f dx dy dz := ∭_Q g~ dx dy dz.

Definizione. Ω e misurabile se la sua funzione caratteristica

g_Ω = { 1 ne (x,y,z) e Ω0 ne (x,y,z) e Q \ Ω

e integrabile e definiamo la misura di Ω

|Ω| := ∭_Ω 1 dx dy dz = ∭_Q g_Ω dx dy dz

|Ω| rappresenta il volume di Ω.

Teorema. Ω c R³ limitato e misurabile <=> ∂Ω e misurabilee ha misura nulla, |∂Ω| = 0.

∂Ω ha misura nulla <=> ∀ ε > 0 ∃ N_ε cubetti, Q₁, ..., Q_Nε taliche ∂Ω c Q₁ U ... U Q_Nε e |Q₁| + ... + |Q_Nε| < ε.

Se g : E c R² -> R, E non misurabile in R², g e C¹(E)=> il grafico di g cioe { (x,y,z) | (x,y) e E , z = g(x,y) }ha misura nulla in R³.

Se Ω c R³ e solidificato da superficie, => Ω e misurabile.

Teorema. Se Ω e misurabile e f : Ω -> R, continuo e limitato

=> f ∈ R(Q).

FORMULE DI RIDUZIONE

CASO DEL PRISMALEPIPEDO

Cominciamo con le formule di integrazione per gli,

s.o. Q come sopra, f: Q -> R e supponiamo che

V (x,y) ∈ [a1,b1] x [a2,b2], f(x,y,.) ∈ R([a3,b3]), allora

g(x,y):= ∫_a3^b3 f(x,y,z) dz, allora g ∈ R([a1,b1] x [a2,b2]) e

vale

∫∫∫_Q f dx dy dz = ∫∫_{[a1,b1] x [a2,b2]} g(x,y) dx dy = ∫∫_{[a1,b1] x [a2,b2]} ( ∫_a3^b3 f(x,y,z) dz ) dx dy

Formula di riduzione per piani,

Se f ∈ R(Q) e ne V x ∈ [a1,b1] la funzione f(x,.,.) ∈

∈ R([a2,b2] x [a3,b3]), allora

h(x):= ∫∫_{[a2,b2] x [a3,b3]} f(x,y,z) dy dz, h ∈ R([a1,b1])

e vale

∫∫∫_Q f dx dy dz = ∫_a1^b1 h(x) dx = ∫_a1^b1 ( ∫∫_{[a2,b2] x [a3,b3]} f(x,y,z) dy dz ) dx

Esempio

Q = [0,1] x [1,2] x [-1,0],    f(x,y,z) = x²z + sen(πy)

∦∦∦_Q f(x,y,z) dx dy dz = ∦∦sub [0,1] x [1,2] ( ∫_-1⁰ x²z + sen(πy) dz ) dx dy =

= ∦∦ [0,1] x [1,2] ( x²z²/2 + sen(πy)z )|_z=-1^z=0 dxdy = ∦∦ [0,1] x [1,2] ( -x²/2 + sen(πy) ) dxdy

= ∫₀¹ ( ∫₁² -x²/2 + sen(πy) dy ) dx = ∫₀¹ ( -x²y/2 - 1/π cos(πy) )|_y=1^y=2 dx =

= ∫₀¹ ( -x²/2 - 1/π - 1/π ) dx = -1/6 - 2/π

Formule di riduzione per domini piu generali

Sia Ω ⊆ R³, limitato e misurabile, diremo che Ω e

z-semplice se esistono E ⊆ R² misurabile e g₁, g₂:E → R,

continue e g₁ ≤ g₂ tali che

Ω = { (x,y,z) | (x,y) ∈ E, g₁(x,y) ≤ z ≤ g₂(x,y) }

Ω e la regione compresa tra il grafico di 2 funzioni:

Se f e limitata e continua su R, allora

∭_Ω f(x,y,z) dx dy dz = ∬_E (∫_g1(x,y)^g₂(x,y) f(x,y,z) dz) dx dy

Esempio Sia T il tetraedro di vertici (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

∭_T x dx dy dz =

T = {(x,y,z) in R³ | x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z ≤ 1}

= {(x,y,z) in R³ | (x,y) in E, 0 ≤ z ≤ 1 - (x+y)}

∭_T x dx dy dz = ∬_E (∫₀^1-(x+y) x dz) dx dy = ∬_E x(1-(x+y)) dx dy =

= ∫₀¹ (∫₀^1-x x(1-(x+y)) dy) dx =

= ∫₀¹ (x((1-x)y - y²/2))|_y=0^y=1-x dx = ∫₀¹ x((1-x)² - (1-x)²/2) dx = ∫₀¹ x((1-x)²/2) dx

= ∫₀¹ 1/2 (x - 2x² + x³) dx = 1/2 (1/2 - 2/3 + 1/4) = 1/2 ((6 - 8 + 3)/12) = 1/24.

Formula di integrazione per strati

Sia Ω ⊂ R³ limitato e misurabile, definiamo la z-sezione di Ω

Ω_z = {(x,y) | (x,y,z) ∈ Ω}

ovvero Ω_z0 e l'intersezione di Ω con

il piano z = z₀

Ω = {(x,y,z) | a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ Ω_z}

∥∥∥_Ω f(x,y,z) dx dy dz = ∫_a^b (∥∥_Ωz f(x,y,z) dx dy) dz

Esempio

∥∥∥_T x dx dy dz, proviamo ad integrare per fette parallele al piano yz

0 ≤ x ≤ 1, andiamo a determinare T_x

T = {(x,y,z), x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}

T_x = {(y,z), y ≥ 0, z ≥ 0, y + z ≤ 1 - x}

∥∥∥_T x dx dy dz = ∫₀¹ (∥∥_Tx x dy dz) dx = ∫₀¹ x (1 - x)²/2 dx = 1/24 (vedi sopra).

Volume della palla di raggio R, Ω = {(x,y,z) | x² + y² + z² ≤ R²}

Ω = {(x,y,z) | -R