Integrali

Calcolare integrali seguenti

2×7×24×+7 dxg① < 2+ ✗✗ -| XXI dx② 2- 4×+4✗/③ "°a3{④ ×di⑤ "°| 3⑥ dx4×2+2×+13×+2|⑦ dix2 1)(✗ -S⑧ ×S⑨ "i/⑤ okS "① °+3×7Èg ×④ ×( => 1)× +/ 3① ×2>☒ ( 1)+ +✗×[ " '⑦ ee #+è 1-2 lagx|⑦ e- DX> )log( at✗ ×,È > 1+2④ senti dx1 tcosxo 4 sevfx{⑦ DXcos'34- ×/I 3 5{⑦ :# *=/⑨ ^ dx3¢ ☒e +3!⑨ ok"| rx⑦ 0K#6+68

Sostituzioni

Sostituzioni dato studiare importanti a o per>:IÌ{ )Rlx dx- , atghtsentusiamo a. oppure ✗✗ ==AEI| )(R dx. × , asenht atgtusiamo oppure✗ ✗ ==East| )( dxR- × , acosht > ausiamo ✗ se ×= acosht ase E✗ ✗oppure = -- .

Svolgimento

Sia① 2×7×74×+7| dxI = .2 2✗ ✗+ -Poiché ) la effettuo(D)( N' gr > gr, divisione tra polinomi :2> 22- ✗ ✗+4×+72x -+ ✗2×2+4/12×3 2x 1-_- 2 7✗ +✗- < 2✗+ +✗ - 54 ✗ +

Pertanto / ¥→/ 1) d.(I dx2x ✗ += -I Iz+= , .Ora / 2-(2×-1)In GEIRDX ✗✗ t ca= = .,Per osserviamo Ia che radici due]2) !a) (-2 (' distinte reali✗ +×+ ×✗ = -allora È IE+= )(2)Al B ✗ 1+✗ + -= 2)7) (( +✗X - )B(B)( zaat +✗ -= )1)( ( +2X ✗- identità il di dei usando principio e abbiamo polinomi :{ {A -113=1 BA 21- a☐ = =--13=5 D= 12A -)( 5B2 B1 =-- 13=5> ZB⇐ 2 - - D=313=5 1(2( --

Pertanto d-allora 1-13=2= ./ ,É-Ia di= =DA=/ dxtf¥ dx= ,log log 1×+211×-11 GEIRCz2 += - .,Dunque 2-In log1×-11logIz 1×+21+4I 2+ ✗ ✗ +== - .

sia② =p =/f→I dx " -,ora in due radici+2 !Ie✗ coincidenti reali+= a= = identità il di dei usando principio e abbiamo polinomi :{ A 1= B. 13=22 +2A2 4A + =D=- =pertanto =DA= |/I # dx di= + CERlog I ¥-21×-2 C+= .- , 2+1-' K¥-1/ / - dx2)¥⇐ dx ( C×: +- ==a, (± C C+ +== .-

③ Sia=/ "I 20taco| )21×+2 dxf-= 2-2×+2✗ )FE(/ IEEE "I= +ti4=6-2 3)2×-2/ zdx£ × += 2-2×+2✗2-2×+2=1×-112+1✗È // 2×-2 ^§ 3 ×✗ +2-2×+2 p( ,+,×✗ -2-2×+2 ) 1)arctglxlog CER( 3. C12 ✗ ++ -= .

④ Sia 3g-I DX= 2+3×+2✗oOss che. due radici]2+3×+2 2)1)( (✗ +✗ +✗ distinte reali=quindi ItLEÈ +=( 2) (B.d- )+1✗ + ✗+= )+21)( (✗ ✗+B) B)( ( zaat✗ + += )( (1) +2✗ + ✗ identità il di dei usando principio 'e abbiamo polinomi : {ATB d-{ 1 -1= =3=2'2A-113=0 D=2A → -B a -2-1=1 1-At \<1 ( == -allora A =D3 = 3=/ {' 2- DXI +× +2✗° 33][ ]loglx [+11 logixtzl2+= - , .] ][ loglogs[ 2-0logo 2+ -= - log ZlogZlog 2+2 25-= -Ti 22=2692logt log= log log 22 5 4-= log §loglog 42 22 5 == - .

⑤ Noto che [[ III "I è"°= =a% O<"| 2×+1-1-01§ ×= = 7✗+ +✗o[ [ }II. ""è I ×°= -; ;|)( log )☒ ÈI{ di+1✗+= -LIlog 3 § ¥×+ okI= .- ,Ricordando che 1¥? )(= ( 9-)£px +9✗ + ✗ + +=abbiamo =74- (( E) f)^1✗ +✗ +✗= -7 (E)[ =7-E)( +✗ I+✗= += (II Y[ ]( ( Tel E) a+✗ +=da cui [^ ^ dx§ 1 " ✗ =Fit l'(E)[ ]Ed( E) ^✗ + +^ ¥3{Fs DX= ( IN(Es +1+✗ ;)Làrctg )Ed( E)=p ✗ += ]fg@rctglfs.sE ( )) §zàarctos= - .)àrctg B G-( arctg2-= -V3¥3 È= . _Per tanto €3I log{ 3 §= - .logI 3 jpg= - -

⑥ Noto che ( )> Ì×| -/ ¥→I dx ×= = 4×2+2 +7✗a 0<☐§ /| × - § dx3 "°= =4×2+2×+1 ,' 2- ¥✗ +|§ DXÈ 4×2+2×+1¥f. 2- -= 'È /:S ¥ à÷ "×= - ./)§ ¥" 4×7+2×7 "°= -, | 1(4×72×+1)log% ¥ ×= - '4×2+2×+10¥ In=: )fatt È[> ( )G-(ax p ✗