Infiniti e infinitesimi

Infiniti e infinitesimi

Definizione di infinitesimo

Si dice infinitesimo per x → x₀ una funzione che tende a 0 per x → x₀.

ex. sin x, x^b, ln(1+x), x → 0, x, x², ..., x^h, infinito quando x → 0.

Definizione di infinito

Si dice infinito per x → x₀ ogni funzione che tende a ±∞.

ex. ln x, infinito, x → 0⁺, infinito, x → ±∞, infinitesimo, x → ±1.

Confronto tra infinitesimi

Siano f e g due infinitesimi per x → x₀; consideriamo il limite

lim_x→x0 f(x)/g(x) = 0, c ≠ 0, infinito (±∞), ±∞.

• F(x)/g(x) = 0: f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g.
• F(x)/g(x) = ∞: f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g.
• F e g sono infinitesimi dello stesso ordine.
• F e g non sono confrontabili.

ex. f(x)=sin x, lim_x→0 sin x/x = 1 ⇒ sin x e x hanno lo stesso ordine di infinitesimo.

g(x)=x, sin x va a zero con velocità 1 (x^-1).

ex. f(x) = 1-cos x, lim_x→0 1-cos x/x = 1/2, 1-cos x ha velocità 2 (x²).

Infiniti e infinitesimi

Definizione ripetuta di infinitesimo

Si dice infinitesimo per x → x₀ una funzione che tende a 0 per x → x₀.

ex. sin x, x^b, ln(1+x), x → 0, x, x², ..., xⁿ, infiniti: cambiano x → 0.

Definizione ripetuta di infinito

Si dice infinito per x → x₀ ogni funzione che tende a ±∞.

ex. ln x, infinito, x → 0⁺, infinito, x → ±∞, infinitesimo, x → ±1.

Limite del rapporto tra infinitesimi

Siano f e g due infinitesimi per x → x₀; consideriamo il limite.

lim (x → x₀) f(x)/g(x) = 0 = il finito ≠ 0 = infinito (±∞) ≠ 1.

• 1) f(x)/g(x) = 0: f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g.
• 3) f(x)/g(x) = ∞: f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g.
• 2) f e g sono infinitesimi dello stesso ordine.
• 4) f e g non sono confrontabili.

ex. f(x) = sin x, lim (x → x₀) sin x / x = 1 ⇒ sin x e x hanno lo stesso ordine di infinitesimo; sin x va a zero con velocità 1 (x^-1).

ex. f(x) = 1 - cos x, lim (x → x₀) 1 - cos x / x² = 1/2; 1 - cos x ha velocità 2 (x²).

ex. lim_x→0 (1-cos x)/sin x > 0.

1-cos x velocità 2; sin x velocità 1.

f(x) = e^x-1 → velocità 1.

lim_x→0 (e^x-1)/x = 1.

Confronto tra infiniti

Siano f e g infiniti per x → x₀.

lim_x→x₀ f(x)/g(x)

• 1) 0.
• 2) è finito ≠ 0.
• 3) ±∞.
• 4) ≠ 1.

• 1) f è un infinito di ordine inferiore rispetto a g.
• 2) f e g non infiniti dello stesso ordine.
• 3) f è un infinito di ordine superiore rispetto a g.
• 4) f e g non sono confrontabili.

Situazione tipica

Situazione tipica: f infinito di ordine superiore rispetto a f, x → x₀, g infinitesimo.

[0/0 lim_x→x₀ f₁(x)/g, lim_x→x₀ f/g, lim_x→x₀ ln(1+ f/g)]⁰.

Velocità più rilevante a zero.

Simbolo di Landau

O piccolo

1) O(.) "o piccolo": f(x) = o(g(x)) "f(x) è un o-piccolo di g(x)".

Se lim_x→x₀ f(x)/g(x) = 0, cioè f è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a g.

es. x² = o(sin x), infinito: lim_x→0 x²/sin x, x → 0.

x ≠ o(sin x) perché lim_x→0 x/sin x = 1 ≠ 0.

Osservazione

Osservazione: f(x) = o(1) per x → x₀; questo significa che f è un infinitesimo, infatti: lim f(x) = 0, x → x₀, 1.

Simbolo asintotico

2) simbolo ∼ ("asintotico").

f(x) ∼ g(x) "f(x) è asintotico a g(x)" per x → x₀ se lim_x→x0 f(x)/g(x) = 1.

f e g vanno a zero con lo stesso ordine, es. sin x ∼ x, infatti: lim sin x/x = 1.

e^x - 1 ∼ x, x → 0.

(1 - cos x) ∼ x²/2, lim_x→0 (1 - cos x)/(x²/2) = 1.

ln(x + 1) ∼ x, x → 0.

Proposizione

Proposizione x → x₀.

f ∼ g ↔ f = g + o(g).

dim. f(x) - g(x) = h(x) = o(g).

f ∼ g ↔ lim_x→x0 f(x)/g(x) = 1.

f ∼ g ↔ lim_x→x0 [f(x) - g(x)]/g(x) = 0.

x³ = o(x), infatti: lim_x→0 x³/x = 0.

x² = o(3x), lim_x→0 x²/3x = 0.

Algebra degli o piccoli

• 1) λ ∈ ℝ, o(λf) = o(f) → o(λf) = o(o(f)).
• G = o(ff) → g² = o(λf).

lim_x→∞ f, lim_x→∞ g, f.

• 2) o(xⁿ) + o(x^p) = o(xⁿ).
• 3) o(xⁿ) + o(x^p) = o(x^min{n,p}).

o(x²) + o(x)=o(x).

f_true=o(x³).

g_false=o(x).

lim f → g_x→0, o f.

• 4) o(xⁿ) - o(λxⁿ) = o(xⁿ).

o(x²) - o(x²) = o(x²).

x - sin x = o(√x).

• 5) o(xⁿ) . o(x^p) = o(x^n+p).

lim f(x)=o_x→0, lim g → 0_x→0, o g(x).

• 6) x^p . o(x^p) = o(x^p+p).

x o(x) = o(x²).

f → o(x), lim f(x), o_x→0 g(x) . o(x⁴).