Appunti Analisi 1, parte 4 - Funzioni 2 Infiniti e infinitesimi Derivata

Ott23 2020 Proprietà globale delle funzioni continue

le funzioni continue interessanti I coinvolgono intervallo continue proprietà più su un f f I EI continua continua e- e-su ✗< ✗in oo ,apple.JO#oS-qqMa degli Teo Esistenza Zeri, meaRena lif [ R] leche soddisfi ipotesi asia --: , f [) li]i su a continua ;,) fla flb)ii ) o<. b)( f (c)Ice 0 allora a tesi =:: , )( [ ] lobf strettamente monotona E-allora e se su unico è zero a ,^

Dimostrazione del teorema di esistenza degli zeri

Dimostrazione costruiamo che successione una)fla 0> ftende di;-- - ad zero uno l le )soddisfa ( volta Intervallo112 metodo ogni Dicotomia1 ipotesi2 ]&↳f AIfla )) f- ' I0 ↳ => y- - -- 2,, µ e.sega , aaaaa è. zero=( aicia cercato considerato v non fla fla) )perché 1 questo o<---/iloperdeva )zero gg * oge , 1- )! fla)fla 2Oflb ) >- .o> - ----- |1 Si aaipone =bri ci= [9/4]→/2 intervallo Si Cpone ai = nuovo di pari ampiezza,↳ = alla dell'metà ampiezza di li[ ]a , lif soddisfa Ma [) suI Zytle an ,ca = del ipotesi alle teorema f (g) lo allora E cercato se Cz0 zero=sefkd.xotflad.fi a) 1o<1- )flaflat 2O>- .}1 Si anapone =,b. C2⇐ ]bn→/2 Si C2pone az ==3↳ , del tipo abbiamo trovare consente diche procedimento incapsulati intervalli :un li la [[ [ ]] ]la[ ]bnE c-= anaza oy ,, ., ... . .,1OSS AnthEam. ttnbn bn= ,+ tra la a e ane b.fmed crescente è è limitata an successione la tra a e bne b.fmbm ed è Decrescente è limitata successione(bn )intervallo2Oss ampiezza an. - G¥bn ha del intervallo metà precedente an ampiezza= ogni- f) (flan bn) ttn intervalli Oss gli3 0 costruiti si <come sono per. - ,{l' } { monotone Per bn1 } limitate se ammettono an Oss limite sono finito e e. ( teorema vedi sui funzioni di limiti )monotone cioè : bin bnlui lala ^an - =- mitotuon >-bnl' legge Per allora2Oss anse =-. }GE( ))Ibmlui lui -0an = -- la leto+a nn --→ o=- =L ☒lala e)(hmhm -bnhimlala bn _am an=-= -- to stoMn +n→ a→- f' (e)fila) )l' fllnflbnflan) )Per lui calcola Oss se} =p --. staM - la essendo )( dif sostituzione teorema continua0 IO cioè <: ftl ))hm filmflan ) =ston - il) filmflan ) O del di essendo < permanenza per segno teorema(C)f' rovesciato allora EOf' (C) O quadrato è perchè essendo eun= la(e)f' svolta considerazione EO per appena fll l) O cui>e->- = lei lo quindi cercato zee9ffGG--AogqMa

Teo Weierstrass

Teo Weierstrass MELRema li[ ]Q chiuso e:ta ,☒ ☐li ☒]f :[ limitato sia a - BENE-, [) f ]al continua e-i su[ ]7×1 b allora a.e :: × ,, flx l[ ]) [the) f li]flxn di di M a> su axp Max=p= , ,.,flx) [)( fti lif ]]b di[ diE su✗ aa ✗x2 =p minm a= , ,.,

Controesempio e corollario

Contro ^¥> Eseuipò )(flx) 0,1su×- q))/ =/ !f )Ion 0,1 ammette non né mai ,né 1nun ^)(I{ anc-✗flx) , ✗ ✗0 =p;=2- , ↳annate nè non nè ma, una NON ) -10,1) fla è non continua )( al teorema di degli11 esistenza Corollario zeri RT I ^R:( b)f e 1[c-con asia a → ,, I""& "" s• • "="" " " IÌÙ Elui li=L)) flx Ic-ii e,-at✗ → IÈ TEbui =L >laflx ) C-e ', be ib-✗ → ifiammelle )tal allora su zero uno )( ( )f è b che monotona Strettè su se a.unico . ()PG ☒ a)+5×4+3×712'✗ Su no es +== - ,. ) luiPlxbuu )Plx +ao a;= =- ta✗ a ✗→ →_ )Plxoesiste Oxo : --1 (0,1-00)( a)f.)flx almeno esiste è c-o su c+ un :-_ , f (c) 0=line )hm fcxflx)è✗ sta→ × - )( al teorema di degli esistenza corollario zeri]

Funzioni due e teorema degli zeri

f "funzioni "due siano :ge -fla):[ ☒f b):[ b) R .- -a.ga ;→ →, I) lif ][i continue su sono ag ,, I(a)flb) )fla )) !gll ^ii < g> _ . !!b) tale( che esiste c-Tesi ac: ,flc (c)) g.-_Dim flx )) glxhlxfunzione )la differenza considero se -= b)(#il teorema degli soddisfa esistenza su essa a zeri , .. .h (c)fa flc) )b glc)esiste oce : -= -, ( )) ( gla))hla hlb flbgla) ) )fla) 0<* -= -.

Variante al teorema di Weierstrass

Variante al Weir teorema strass ^f ,f ☒:B continua sia una→ IIlui fa ))i . --±✗ a→ ,{ massimo f allora assoluto ammette minimo un ,✗ mTEdi di assioma completezza Qvarrebbe non per%FE-ETE-ma. it )(

Intermedi valori

Intermedi valori ✗li dei [ ] ambiente c-a.meaRena seuxy^ =faf R[ ]b [ ]qita sia -: -, li[ ]f)i su a 1continua , - ! .[ ] [ flxo )] =L] lMte allora c- a✗ :m ,•, ,minflx )) M maxflxdove m = e = ^etTelaFa e]✗ c- ,, ilM - - - -1

Dimostrazione dei valori intermedi

Dimostrazione [ ]flxt-m-M.tt b imM -1- -- ;1) ,c-✗ a.m = .fXz Xp( figura alla corrispondente× )xp < non, flyM )tale2) f- che siano × em✗m e =a, fai M=l' [ f]intervallo scelgo certamente sul quale è✗ ×" ,continua .funzione la : ( )Iflx)egli ) -1 essendo Mc- m- ,fly km -7))glu 0<- -- fly I I) M)glu 0>- - = -- ( ) teorema allora di il applicare degli può esistenza su X2Xi zeri si, ( a)glxfunzione )alla : continua) Xi ✗ini èg ,)glxa)glu) 0<ii flxo 1=0) f( xD -1)glxo allora esiste Oxo >> ==: = - CVDa) li ]( [c-OE✗ ✗× a, , ,

Corollario: trasformazione di intervalli

Corollario )( [ff [ ]li ] M allora se a nne- continua = ,,f trasforma intervalli intervalli Oss continua una in. [ b ] Em ]Ma fa, ,-- [ ] [la funzione )il vale 0,10,2 →mantissa viceversa ::non intervallo trasforma intervallo ènon continua ma in un un9qTg§--fS-qoMammàEeta Rf II intervallo--: ,f I) continua su e-i )f ( I intervallo di è allora estremi uninff supfII ✗✗ c-c- FLI) finiti gli dita a estremi☐ possono no: essere o ,( )fF- E☒☐ Iappartenere possono o ano FII) !lolimitato se anche I allora chiuso èè e ZFETEE-MI.com/nuiTa-elMVlRTlBlUta1MaRema definita f Iintervall ocontinua sia su un e allora : ff I Strett monotona vita <inietti di su= > .nota già< era= ^funzione b) P(F-iniettiva su a ,è 1monotona non ma )( Iperchè 1è continua non ' l• ! >

Corollario degli intervalli e funzioni inverse

Corollario intervalli I degli jsiamo ,f) I invertibile continua i e su? )FIIf-allora I f-f- continua e- su- ][J perchèè-1,1y su arcsinxes continua= =. funzione ÈI I[ invertibile È è] continua sinxy su sue= = ,idem y arccosx= rctgx>y =funzione f sul dominio può una ammettere inversa e invertibile una ?continua continua non )flx0=+4{ n×)flxes = 3 ;1 E -1×+ Ez✗ I2 q- Ici) [ ][f U]:[ Y 0,1 2,30,2 -- 1-- |- I? I1 >f- ][la yse 0,2scrivo → 21 ^f-{ ^<O' ✗×? ^-g- 3-2-1✗ E E 3✗ 2- ;la funzione )flx sul dominiocontinua suo era non( )"discontinuità '1 specie ✗ 0=1in 1 qo ---?f- ][ Y 1✗ e- continua mentre 0,2 su→ ,Ìi ' >21nel di dei

Considerazioni ulteriori sul cambio variabile nel calcolo dei limiti

Considerazioni cambio variabile ulteriori sul limiticalcolo" "estensione teoremaf funzioni Èt"[le due quali èsiano g per, la condizione guardala f. RTcompostapoazconedif.ge✗✗ C-g per → o di coniÈ)bm to) glx C-=✗ Xo→ ☒) le)7hm fltii =t.to)) glx to di iii =/ intorno ✗in un o allora )fighilui lui flt)= C-✗ ✗→ ✗o → o ot{ ✗o+ se →¥linees e = óO se ✗ →±✗ o→ t{ ++ ••È -¥ et -f. t ±±✗ •→per =e→ per → to, O→/ ( c)

Simboli confronto locale di Landau

Simboli di Landau confronto locale Landau di ✗ → °base alla delle classificare →funzioni velocità i comportamenti locali in con un ± a→ e→indico simboli dei ✗seguenticcon :uno o è✗✗ó+ oo-f { }c) \Ildefinite siano csug,) )glx =/i =/O ✗ e per flx) ( )finito infinito7 Lui =Lsupponiamo o✗ c→l Olglx )flx) )che dice DI se è si Finito per ✗ c: = → c)( f questo da diciamo che è g ✗caso in controllata per →Dpsotto casa : ll finito f=/ dello dice che 0è e-e* sise di stesso Grandezza ✗ordine e g per →f §Yscrive si : ✗per e→ll finito f dice1 che è è* ese equivalente si= gperafigscrive si : ✗per e→ll finito f0 dice che* è è TRASCURABILEese si= ÷rispetto pergaf- <(g)scrive si : ✗a- per e→1F.leur . luisive E luies sif.fi¥= = o= ='Ò VI è ot0 ✗✗ ✗→ → → ti °1

Rivediamo simboli di Landau

rivediamo simboli di Landau coi otC =lui Ff O=è✗ → I )( Tx è0sin per ✗✗ = →fini 1-Luis' MX sin 0× . ==☒ tto✗ →a+✗ t→ iInfinitesimaLimitata rivediamo simboli di Landau coi +00c-Lui sinx O=#a+✗ → I )( Tx0sin +per ✗ a✗ = → è 0+ × aprossimo confonde sinx si con+ ×leur Snfes 1=O✗ → I Oe-SIMXNX oper ✗ →Èleur "es = Oper ✗ →o✗ → {equivalente 'È è ×1- acosiun 21- O✗✗ percosx →liveil ( )termini di Nscrivere come in posso a- ,)( {line 21-y.GS?--- 1- O1 Gsx ✗per✗~ →O✗ → fng )FGleurOss se per c ^<. ✗ → =gge× ,>.}:{ 1¥ link¥ i-, c✗ →nn

Algebra dei limiti

dell’algebra dei limiti per{ } ))flx glx) olglx) e✗per=- →)olglxl fngfa ) )glx + c✗ <per= → per c✗ →)( 2)/{ f-f-2 '1-1- OCosi~ Ocosi ✗perper o ✗✗ →+✗ - ✗⇐→ =usando di tutti limiti simboli Landau riscrivi notevoli i

Considerazioni importanti

Considerazioni importanti 1 )3=01×2ossi risulta 0✗ ✗per →him 3 Lui infatti ✗ o: ✗= =I 0✗ →✗ o→ )(risulta }2=0che ×invece ✗✗ o+per →Lui È lui infatti 1=0: =} ×× + a✗✗ →+→ • )In olx? "risulta generale che se× ✗ On>m: →(F)" se✗ ✗o + o→=f- (1) f2OSS <scrivere è-o per infinitesima✗ e = ✗ eper → →. )0/1f- line =L3Oss scrivere Finito< >per e =. ✗ → 1✗ c→/ Ì/ ) Kflx limitatezza E C-✗ disimboli Landau locale, in^4 lui f(f)oss °1=0scrivere ✗ - èc. infinita⇐. per = × eper→ f- >.e× >.f( )5 lui )/Oss ) flxo(allora se. continua Xo✗× ×per → -×